Développer avec la simple distributivité : exercices de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Développer, c'est transformer un produit en somme : $k(a+b)=ka+kb$ .
Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse, sans en oublier un.
Avec un signe moins devant, tous les signes de la parenthèse changent après multiplication.
Pour vérifier un développement, remplace la lettre par un nombre simple et compare les deux résultats.

Comment utiliser ces exercices

Au programme de 4e, on apprend à nommer un calcul, à distinguer les sommes des produits, les termes des facteurs, puis à utiliser la distributivité simple pour développer une expression algébrique ¹. Ces exercices t'entraînent à ce geste, en partant de nombres pour aller vers des expressions avec des lettres. Cherche d'abord seul(e), regarde un indice si tu bloques, puis compare avec la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Premier développement

★☆☆Environ 4 min

Développe $A=6(x+4)$ .
Calcule $A$ pour $x=2$ avec l'expression de départ.

Indice 1

Le facteur 6 multiplie le $x$ , puis le 4.

Indice 2

Pour la question 2, remplace $x$ par 2 dans $6(x+4)$ et calcule d'abord la parenthèse.

Voir la correction pas à pas

Le facteur devant la parenthèse est 6. On écrit $A=6\times x+6\times 4$ .
On calcule chaque produit : $6\times x=6x$ et $6\times 4=24$ .
On obtient $A=6x+24$ .
Pour $x=2$ , on calcule d'abord la parenthèse : $2+4=6$ , puis $6\times 6=36$ .
Contrôle avec la forme développée : $6\times 2+24=12+24=36$ . Les deux résultats concordent.

$6(x+4)=6x+24$ , et pour $x=2$ la valeur est 36.

Exercice 2 Calcul mental astucieux

★☆☆Environ 4 min

Calcule mentalement $8\times 102$ en écrivant $102=100+2$ puis en utilisant la distributivité.

Indice 1

Écris $8\times(100+2)$ .

Indice 2

Calcule $8\times 100$ et $8\times 2$ séparément, puis additionne.

Voir la correction pas à pas

On remplace 102 par $100+2$ : $8\times 102=8\times(100+2)$ .
On distribue : $8\times 100+8\times 2$ .
On calcule : $800+16$ .
On additionne : $816$ .

$8\times 102=816$ . La distributivité sert aussi à calculer vite avec des nombres.

Exercice 3 Une parenthèse avec une soustraction

★☆☆Environ 4 min

Développe $B=5(3a-7)$ .

Indice 1

La règle est la même avec un signe moins : $k(a-b)=ka-kb$ .

Indice 2

Multiplie 5 par $3a$ , puis 5 par 7.

Voir la correction pas à pas

Le facteur est 5. On écrit $B=5\times 3a-5\times 7$ .
On calcule $5\times 3a=15a$ , car $5\times 3=15$ .
On calcule $5\times 7=35$ .
On garde le signe moins entre les deux termes : $B=15a-35$ .

$5(3a-7)=15a-35$ .

Exercice 4 Facteur négatif

★★☆Environ 6 min

Développe $C=-3(2x-5)$ .
Vérifie ton résultat en calculant $C$ pour $x=4$ avec l'expression de départ.

Indice 1

Le facteur est $-3$ : il est négatif, donc les signes changent.

Indice 2

$(-3)\times(-5)$ est positif.

Voir la correction pas à pas

Le facteur est $-3$ . On écrit $C=(-3)\times 2x+(-3)\times(-5)$ .
On calcule $(-3)\times 2x=-6x$ .
On calcule $(-3)\times(-5)=+15$ , car le produit de deux nombres négatifs est positif.
On obtient $C=-6x+15$ .
Pour $x=4$ avec le départ : $2\times 4-5=3$ , puis $-3\times 3=-9$ .
Avec la forme développée : $-6\times 4+15=-24+15=-9$ . Les deux valeurs sont égales.

$-3(2x-5)=-6x+15$ , et pour $x=4$ on trouve -9.

Exercice 5 Un facteur avec une lettre

★★☆Environ 6 min

Développe $D=2x(3x-4)$ .

Indice 1

Le facteur est $2x$ , une lettre multipliée par un nombre.

Indice 2

$x\times x=x^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le facteur est $2x$ . On écrit $D=2x\times 3x-2x\times 4$ .
On calcule le premier produit : $2\times 3=6$ et $x\times x=x^2$ , donc $6x^2$ .
On calcule le second produit : $2x\times 4=8x$ .
On obtient $D=6x^2-8x$ .

$2x(3x-4)=6x^2-8x$ . Les termes $6x^2$ et $8x$ ne sont pas semblables : on ne peut pas aller plus loin.

Exercice 6 Aire d'un rectangle

★★☆Environ 6 min

Un rectangle a pour largeur $3$ cm et pour longueur $(x+5)$ cm.

Écris son aire sous forme développée.
Calcule cette aire pour $x=7$ .

Indice 1

L'aire d'un rectangle est longueur $\times$ largeur.

Indice 2

Pour la question 2, remplace $x$ par 7 dans l'expression développée.

Voir la correction pas à pas

L'aire en cm² est $\mathcal{A}=3\times(x+5)$ .
On distribue : $3\times x+3\times 5$ .
On obtient $\mathcal{A}=3x+15$ .
Pour $x=7$ : $3\times 7+15=21+15=36$ .
Contrôle : la longueur vaut $7+5=12$ cm et $3\times 12=36$ cm².

L'aire vaut $3x+15$ cm², soit 36 cm² pour $x=7$ .

Exercice 7 Deux produits à développer puis réduire

★★★Environ 8 min

Développe puis réduis $E=4(x+3)+2(5-x)$ .
Calcule $E$ pour $x=5$ avec l'expression de départ.

Indice 1

Développe chaque produit séparément, puis regroupe les termes en $x$ et les nombres.

Indice 2

$2(5-x)=10-2x$ .

Voir la correction pas à pas

On développe le premier produit : $4(x+3)=4x+12$ .
On développe le second : $2(5-x)=10-2x$ .
On additionne : $E=4x+12+10-2x$ .
On regroupe les termes en $x$ : $4x-2x=2x$ .
On regroupe les nombres : $12+10=22$ . Donc $E=2x+22$ .
Pour $x=5$ avec le départ : $4\times 8+2\times 0=32$ .
Avec la forme réduite : $2\times 5+22=32$ . Les valeurs concordent.

$E=2x+22$ , et pour $x=5$ on trouve 32.

Exercice 8 Un signe moins devant la parenthèse

★★★Environ 8 min

Développe puis réduis $F=-2x(x-3)-4(1-x^2)$ .

Indice 1

Traite chaque produit à part, en gardant le signe du facteur.

Indice 2

$-4\times(-x^2)=+4x^2$ .

Voir la correction pas à pas

Premier produit : $-2x(x-3)=(-2x)\times x+(-2x)\times(-3)=-2x^2+6x$ .
Second produit : $-4(1-x^2)=(-4)\times 1+(-4)\times(-x^2)=-4+4x^2$ .
On additionne : $F=-2x^2+6x-4+4x^2$ .
On regroupe les termes en $x^2$ : $-2x^2+4x^2=2x^2$ .
Le terme en $x$ reste $6x$ , le nombre reste $-4$ .
On obtient $F=2x^2+6x-4$ .

$F=2x^2+6x-4$ . Chaque signe change quand le facteur est négatif.

Exercice 9 Repérer l'erreur d'un élève

★★★Environ 8 min

Un élève écrit $4(x+5)=4x+5$ .

Montre que l'égalité est fausse en comparant les deux membres pour $x=1$ .
Corrige-la.
Calcule la différence entre le membre de gauche et le membre de droite de l'égalité fausse pour $x=1$ .

Indice 1

Remplace $x$ par 1 des deux côtés.

Indice 2

Le 5 doit être multiplié par 4.

Voir la correction pas à pas

Membre de gauche pour $x=1$ : $4\times(1+5)=4\times 6=24$ .
Membre de droite pour $x=1$ : $4\times 1+5=9$ .
Comme $24\neq 9$ , l'égalité est fausse : un seul exemple suffit à le prouver.
L'élève a multiplié 4 par $x$ mais a oublié de multiplier 4 par 5.
Correction : $4(x+5)=4x+4\times 5=4x+20$ .
Contrôle : pour $x=1$ , $4+20=24$ , c'est bien la valeur de gauche.
Différence demandée : $24-9=15$ .

La bonne égalité est $4(x+5)=4x+20$ ; l'égalité de l'élève donne un écart de 15 pour $x=1$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si mon développement est juste ?

Choisis un petit nombre, par exemple $x=1$ ou $x=2$ . Calcule l'expression de départ puis l'expression développée avec ce nombre. Si les résultats sont différents, il y a une erreur. S'ils sont égaux, c'est probablement juste : pour être plus sûr, refais le test avec une deuxième valeur.

Pourquoi le signe change-t-il quand le facteur est négatif ?

Le facteur négatif multiplie chaque terme de la parenthèse, et la règle des signes s'applique à chaque produit. Un produit d'un nombre négatif par un terme positif est négatif, et par un terme négatif il est positif. Dans $-3(2x-5)$ , on obtient donc $-6x$ puis $+15$ .

Quelle différence entre développer et réduire ?

Développer, c'est transformer un produit en somme grâce à la distributivité ². Réduire, c'est ensuite regrouper les termes semblables pour écrire la somme plus simplement. Dans $4(x+3)+2(5-x)$ , on développe d'abord, puis on réduit pour obtenir $2x+22$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (4ème - Calcul littéral) · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (4ème - Calcul littéral), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Attendus de fin d'année – 4e Mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Premier développement

Exercice 2 Calcul mental astucieux

Exercice 3 Une parenthèse avec une soustraction

Exercice 4 Facteur négatif

Exercice 5 Un facteur avec une lettre

Exercice 6 Aire d'un rectangle

Exercice 7 Deux produits à développer puis réduire

Exercice 8 Un signe moins devant la parenthèse

Exercice 9 Repérer l'erreur d'un élève

Les questions qu'on se pose

Sources

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