Notation scientifique : exercices corrigés de 4e

Le premier chiffre non nul est 4. La mantisse est donc $4{,}5$, qui est bien entre 1 et 10.

La virgule se trouvait après le dernier 0 : pour la mettre après le 4, on la déplace de 6 rangs vers la gauche. L'exposant vaut donc 6.

On vérifie : $4{,}5 \times 10^{6} = 4\,500\,000$.

Le premier chiffre non nul est 8, donc la mantisse est $8{,}2$.

Pour passer de $0{,}00082$ à $8{,}2$, la virgule avance de 4 rangs vers la droite. L'exposant vaut donc $-4$.

On vérifie : $8{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00082$.

$12 \times 10^{3}$ : la mantisse 12 a deux chiffres avant la virgule. Ce n'est pas une écriture scientifique ; on écrit $1{,}2 \times 10^{4}$.

$0{,}7 \times 10^{5}$ : la mantisse est inférieure à 1, le chiffre avant la virgule est 0. On écrit $7 \times 10^{4}$.

$3{,}4 \times 10^{-2}$ : la mantisse est entre 1 et 10 et l'exposant est entier. C'est correct.

$10 \times 10^{2}$ : la mantisse 10 n'appartient pas à $[1\,;\,10[$. On écrit $1 \times 10^{3}$.

$8{,}05 \times 10^{7}$ : un seul chiffre non nul avant la virgule, exposant entier. C'est correct.

Question 1 : on déplace la virgule de 5 rangs vers la droite dans $6{,}02$. Il faut compléter par des zéros : $6{,}02 \to 602\,000$.

Question 2 : on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche dans $3{,}7$, en ajoutant des zéros devant : $3{,}7 \to 0{,}0037$.

Contrôle : $602\,000$ est grand, ce qui correspond à un exposant positif ; $0{,}0037$ est petit, ce qui correspond à un exposant négatif.

On regroupe : $(3 \times 2{,}5) \times (10^{4} \times 10^{3})$.

Les mantisses : $3 \times 2{,}5 = 7{,}5$.

Les exposants : $4 + 3 = 7$, donc la puissance de 10 est $10^{7}$.

Le résultat est $7{,}5 \times 10^{7}$. La mantisse $7{,}5$ est dans $[1\,;\,10[$, rien à corriger.

En écriture décimale : $75\,000\,000$.

On multiplie les mantisses : $6 \times 5 = 30$.

On additionne les exposants : $5 + (-2) = 3$. On obtient $30 \times 10^{3}$.

Cette écriture n'est pas scientifique, car 30 est supérieur à 10. On remplace $30$ par $3 \times 10^{1}$.

Alors $30 \times 10^{3} = 3 \times 10^{1} \times 10^{3} = 3 \times 10^{4}$.

En écriture décimale : $30\,000$.

On sépare : $\dfrac{9}{4} \times \dfrac{10^{-3}}{10^{2}}$.

Les mantisses : $9 \div 4 = 2{,}25$, qui est dans $[1\,;\,10[$.

Les exposants : $-3 - 2 = -5$.

Le résultat est $2{,}25 \times 10^{-5}$.

En écriture décimale, la virgule recule de 5 rangs vers la gauche : $0{,}0000225$.

Le nombre de secondes en un jour s'écrit $86\,400 = 8{,}64 \times 10^{4}$.

Le nombre d'opérations est $(2{,}4 \times 10^{9}) \times (8{,}64 \times 10^{4})$.

Les mantisses : $2{,}4 \times 8{,}64 = 20{,}736$.

Les exposants : $9 + 4 = 13$. On obtient $20{,}736 \times 10^{13}$.

La mantisse dépasse 10 : $20{,}736 = 2{,}0736 \times 10^{1}$. Donc le résultat vaut $2{,}0736 \times 10^{14}$.

En écriture décimale : $207\,360\,000\,000\,000$ opérations.

On compare les exposants : $A$ et $C$ ont l'exposant $-3$, $B$ a l'exposant $-2$. Comme $-2 > -3$, $B$ est le plus grand des trois.

Pour $A$ et $C$, les exposants sont égaux : on compare les mantisses. $4{,}7 < 9{,}1$, donc $A < C$.

On range : $A < C < B$.