Règles de calcul sur les puissances : cours de 4e

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Produit de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; quotient : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (avec $a \neq 0$ ).
Puissance de puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$ ; les exposants se multiplient.
Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ ; d'un quotient : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ ( $b \neq 0$ ).
Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ; $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$ .
Une somme ne se simplifie pas : $a^m + a^n$ n'est pas $a^{m+n}$ . Les règles du produit et du quotient demandent la même base.

Introduction : pourquoi des règles de calcul ?

Tu sais déjà qu'une puissance est une multiplication répétée : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ . Tu as aussi rencontré les puissances de 10 et la notation scientifique. Le programme de 4e demande de calculer avec des puissances, y compris celles de 10 avec un exposant positif ou négatif ³.

Imagine maintenant que tu doives calculer $2^{15} \times 2^{20}$ à la main. Écrire 35 facteurs, c'est long et risqué. Les règles de calcul sur les puissances servent à raccourcir ces calculs : on travaille sur les exposants plutôt que sur les nombres eux-mêmes.

Dans ce cours, tu vas :

voir d'où viennent les règles, pour ne plus les confondre ;
apprendre à les appliquer dans le bon ordre ;
repérer les erreurs que l'on rencontre le plus souvent.

Ces règles servent aussi à calculer la valeur d'une expression numérique ou littérale contenant des puissances, ce que le programme du cycle 4 attend de toi ¹. Ces expressions mélangent des puissances simples avec des additions, des soustractions et des produits ¹. Les puissances de 10 d'exposant positif ou négatif font partie des attendus de fin d'année en 4e ³.

Rappels : ce que veut dire une puissance

Le produit de deux puissances de même base

Démonstration · Pourquoi ça marche

Prenons $a^3 \times a^2$ .

$a^3 = a \times a \times a$ et $a^2 = a \times a$ .

Le produit s'écrit donc $a \times a \times a \times a \times a$ , soit 5 facteurs égaux à $a$ .

On a donc $a^3 \times a^2 = a^5 = a^{3+2}$ .

Le raisonnement est le même avec n'importe quels exposants positifs : on met bout à bout $m$ facteurs puis $n$ facteurs, ce qui fait $m+n$ facteurs.

Le quotient de deux puissances de même base

Démonstration · Pourquoi ça marche

Prenons $\dfrac{a^5}{a^2}$ avec $a \neq 0$ .

$\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a}$

On simplifie deux facteurs $a$ en haut avec les deux facteurs $a$ en bas. Il reste $a \times a \times a = a^3$ .

On a bien $\dfrac{a^5}{a^2} = a^3 = a^{5-2}$ .

Si l'exposant du bas est le plus grand, on obtient un exposant négatif. Par exemple $\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{1}{a^3} = a^{-3}$ , ce qui est cohérent avec $a^{2-5}$ .

La puissance d'une puissance

Démonstration · Pourquoi ça marche

Prenons $(a^3)^2$ .

Élever au carré, c'est multiplier par lui-même : $(a^3)^2 = a^3 \times a^3$ .

Par la règle du produit, $a^3 \times a^3 = a^{3+3} = a^6$ .

Or $3 + 3 = 3 \times 2$ . On retrouve donc $(a^3)^2 = a^{3 \times 2}$ .

Avec $(a^m)^n$ , on a $n$ facteurs égaux à $a^m$ : on additionne $n$ fois l'exposant $m$ , ce qui donne $m \times n$ .

La puissance d'un produit et d'un quotient

Démonstration · Pourquoi ça marche

Prenons $(a \times b)^3$ .

$(a \times b)^3 = (a \times b) \times (a \times b) \times (a \times b)$ .

Comme l'ordre des facteurs n'a pas d'importance dans un produit, on regroupe : $a \times a \times a \times b \times b \times b = a^3 \times b^3$ .

Les règles de calcul sur les puissances
Situation	Règle	Exemple
Produit de même base	On additionne les exposants	2^3 × 2^4 = 2^7
Quotient de même base	On soustrait les exposants	5^6 / 5^2 = 5^4
Puissance de puissance	On multiplie les exposants	(3^2)^3 = 3^6
Puissance d'un produit	On distribue l'exposant	(2×5)^2 = 2^2 × 5^2
Exposant négatif	On prend l'inverse	10^-2 = 1/100

Les règles de calcul sur les puissances · Les règles à connaître, avec un exemple pour chacune.

Méthode : calculer avec plusieurs règles à la fois

RepérerProduit, quotient ou puissance de puissance ?
ParenthèsesTraiter les exposants des parenthèses
RegrouperRéunir les puissances de même base
CalculerAppliquer les règles, puis la valeur
VérifierContrôler avec de petits nombres

Méthode pour simplifier une expression · De l'expression de départ au résultat vérifié.

Les pièges à éviter avant un contrôle

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit de puissances de même base

★☆☆Environ 5 min

Écris $2^3 \times 2^5$ sous la forme d'une seule puissance, puis calcule sa valeur.

Indice 1

Les deux puissances ont la même base : que fait-on des exposants dans un produit ?

Voir la correction pas à pas

Les deux facteurs ont la même base, 2 : on peut appliquer la règle du produit.
On additionne les exposants : $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$ .
On calcule : $2^8 = 256$ .
Vérification : $2^3 = 8$ , $2^5 = 32$ et $8 \times 32 = 256$ .

Le résultat est $2^8 = 256$ .

Exercice 2 Puissance de puissance et quotient

★★☆Environ 8 min

Simplifie $D = \dfrac{(3^2)^3}{3^4}$ puis calcule sa valeur.

Indice 1

Commence par la parenthèse au numérateur.

Indice 2

Utilise ensuite la règle du quotient.

Voir la correction pas à pas

Au numérateur, puissance de puissance : $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$ .
On obtient $D = \dfrac{3^6}{3^4}$ .
Règle du quotient : on soustrait les exposants, $3^{6-4} = 3^2$ .
On calcule : $3^2 = 9$ .

On trouve $D = 3^2 = 9$ .

Exercice 3 Puissances de 10 et exposants négatifs

★★★Environ 10 min

Calcule $E = (4 \times 10^5) \times (3 \times 10^{-2})$ . Donne le résultat en écriture décimale.

Indice 1

Regroupe d'abord les nombres $4$ et $3$ , puis les puissances de 10.

Indice 2

Pour le produit de puissances de 10, additionne les exposants, même si l'un est négatif.

Voir la correction pas à pas

On regroupe : $E = 4 \times 3 \times 10^5 \times 10^{-2}$ .
On calcule le produit des nombres : $4 \times 3 = 12$ .
On additionne les exposants : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$ .
On obtient $E = 12 \times 10^3 = 12 \times 1\,000 = 12\,000$ .

On trouve $E = 12\,000$ , soit $1{,}2 \times 10^4$ en notation scientifique.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut additionner ou multiplier les exposants ?

Regarde la forme de l'expression. Dans un produit de deux puissances de même base ( $a^m \times a^n$ ), on additionne. Dans une puissance de puissance ( $(a^m)^n$ ), on multiplie. Un test rapide : avec $2^2 \times 2^3$ , tu vérifies $4 \times 8 = 32 = 2^5$ , donc on additionne.

Que faire quand les bases sont différentes ?

Si les bases et les exposants sont différents, on ne peut pas regrouper : on calcule chaque puissance puis on effectue l'opération. Si les exposants sont identiques, on peut regrouper avec $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ . Par exemple $2^3 \times 5^3 = 10^3$ .

Pourquoi $a^0 = 1$ ?

La règle du quotient l'explique : $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$ . Or un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1. Donc $a^0 = 1$ , à condition que $a$ soit différent de 0.

À quoi servent ces règles dans la vie courante ou en sciences ?

Elles permettent de manipuler de très grands ou très petits nombres sans écrire tous les chiffres. Les puissances de 10 d'exposant positif ou négatif au programme de 4e ³ en sont l'exemple le plus courant. Elles servent aussi à simplifier des expressions littérales avant de les calculer ¹.

Ma calculatrice peut-elle vérifier mon résultat ?

Oui. Les calculatrices et logiciels ont une syntaxe qui permet de calculer des puissances ². Utilise-la pour contrôler ton résultat final, mais écris toujours les étapes sur ta copie : elles montrent que tu connais les règles.

Que faire avec un exposant négatif dans un calcul ?

Tu peux soit garder l'exposant négatif et appliquer les règles habituelles (en additionnant ou soustrayant les exposants avec leur signe), soit le transformer en inverse avec $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ . Fais attention aux signes quand tu soustrais : $10^2 \div 10^{-3} = 10^{2-(-3)} = 10^5$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances · Ministère de l'Éducation Nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Nombres et calculs (incluant puissances), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Attendus de fin d'année 4e - Mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Règle à calcul, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Facteur de puissance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Situation	Résultat
$a^m \times a^n$	$a^{m+n}$
$\dfrac{a^m}{a^n}$	$a^{m-n}$
$(a^m)^n$	$a^{m \times n}$
$(ab)^n$	$a^n \times b^n$
$a^{-n}$	$\dfrac{1}{a^n}$
$a^0$	$1$

Règles de calcul sur les puissances : cours de 4e

L'essentiel

Introduction : pourquoi des règles de calcul ?

Rappels : ce que veut dire une puissance

Le produit de deux puissances de même base

Le quotient de deux puissances de même base

La puissance d'une puissance

La puissance d'un produit et d'un quotient

Méthode : calculer avec plusieurs règles à la fois

Les pièges à éviter avant un contrôle

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit de puissances de même base

Exercice 2 Puissance de puissance et quotient

Exercice 3 Puissances de 10 et exposants négatifs

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur