Règles de calcul sur les puissances : exercices corrigés de 4e

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Produit de même base : on additionne les exposants, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ .
Quotient de même base : on soustrait les exposants, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Puissance de puissance : on multiplie les exposants, $(a^m)^n = a^{m \times n}$ .
Pour un produit ou un quotient, l'exposant se distribue : $(ab)^n = a^n b^n$ .
Avant de calculer, ramène tout à la même base, puis applique la règle adaptée.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'adressent à toi si tu connais déjà les puissances d'exposant entier, les puissances de 10 et la notation scientifique. Le programme du cycle 4 demande de savoir calculer la valeur d'expressions contenant des puissances, y compris quand elles sont écrites avec des lettres.¹ En 4e, on travaille aussi avec les puissances de 10 d'exposants positifs ou négatifs.³ Les exercices suivent cette progression : d'abord une règle à la fois, puis des expressions qui en mélangent plusieurs.

À retenirLes règles à avoir en tête

Pour un nombre non nul $a$ et des entiers relatifs $m$ et $n$ :

Situation	Règle
Produit de même base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$
Quotient de même base	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Puissance d'une puissance	$(a^m)^n = a^{m \times n}$
Puissance d'un produit ( $b$ non nul)	$(a \times b)^n = a^n \times b^n$
Exposant nul	$a^0 = 1$
Exposant négatif	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Démonstration · Pourquoi le produit s'additionne

Prenons $a^3 \times a^2$ . Le nombre $a^3$ est $a \times a \times a$ et $a^2$ est $a \times a$ . En les multipliant, on écrit $a$ cinq fois : $a \times a \times a \times a \times a = a^5$ . Or $3 + 2 = 5$ . Le même raisonnement marche avec n'importe quels exposants positifs. Pour le quotient, on simplifie les facteurs communs : $\dfrac{a^5}{a^2} = a^3$ , car deux facteurs du haut disparaissent avec les deux du bas.

Exemple guidé et conseils de rédaction

Prends l'habitude de rédiger chaque ligne avec un seul changement par rapport à la précédente. Si tu appliques deux règles dans la même ligne, tu risques de confondre les signes ou les exposants, et ton professeur aura du mal à suivre ton raisonnement. Quand un exposant est négatif, entoure-le de parenthèses : écrire $5^{3 + (-2)}$ évite l'erreur $5^{3 + -2}$ , qui prête à confusion.

Les exercices

Exercice 1 Produit de puissances de 2

★☆☆Environ 3 min

Écris $A = 2^3 \times 2^4$ sous la forme d'une seule puissance de 2, puis donne sa valeur.

Indice 1

Les deux facteurs ont la même base.

Indice 2

Quand on multiplie, que fait-on des exposants ?

Voir la correction pas à pas

Les deux facteurs ont la même base 2 : on peut appliquer la règle du produit.
On additionne les exposants : $A = 2^{3+4} = 2^7$ .
On calcule : $2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$ .

$A = 2^7 = 128$ . Contrôle : $2^3 = 8$ et $2^4 = 16$ , et $8 \times 16 = 128$ .

Exercice 2 Quotient de puissances de 5

★☆☆Environ 3 min

Écris $B = \dfrac{5^9}{5^6}$ sous la forme d'une seule puissance de 5, puis donne sa valeur.

Indice 1

Même base en haut et en bas.

Indice 2

On soustrait l'exposant du dénominateur à celui du numérateur.

Voir la correction pas à pas

Numérateur et dénominateur ont la même base 5 : on applique la règle du quotient.
On soustrait les exposants : $B = 5^{9-6} = 5^3$ .
On calcule : $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ .

$B = 5^3 = 125$ . Six des neuf facteurs 5 du haut se simplifient avec ceux du bas, il en reste trois.

Exercice 3 Puissance d'une puissance

★☆☆Environ 3 min

Calcule $C = (3^2)^3$ en l'écrivant d'abord sous la forme d'une seule puissance de 3.

Indice 1

$(3^2)^3$ signifie $3^2 \times 3^2 \times 3^2$ .

Indice 2

Combien de facteurs 3 obtient-on au total ?

Voir la correction pas à pas

On écrit $(3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2$ .
Par la règle du produit, on additionne : $3^{2+2+2} = 3^6$ . C'est aussi $3^{2 \times 3}$ .
On calcule : $3^6 = 729$ .

$C = 3^6 = 729$ . Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants.

Exercice 4 Enchaîner avec des exposants négatifs

★★☆Environ 5 min

Calcule $D = \dfrac{10^5 \times 10^{-2}}{10^{-1}}$ en passant par une seule puissance de 10.

Indice 1

Commence par le numérateur : produit de deux puissances de 10.

Indice 2

Diviser par $10^{-1}$ revient à soustraire $-1$ : attention au signe.

Voir la correction pas à pas

Numérateur : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3$ .
Quotient : $D = \dfrac{10^3}{10^{-1}} = 10^{3 - (-1)}$ .
On simplifie le signe : $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$ , donc $D = 10^4$ .
On calcule : $10^4 = 10\,000$ .

$D = 10^4 = 10\,000$ . En 4e, on utilise les puissances de 10 d'exposants positifs ou négatifs³ : elles suivent les mêmes règles que les autres puissances.

Exercice 5 Produit, puissance et quotient mélangés

★★☆Environ 6 min

Calcule $E = \dfrac{(2^5 \times 2^{-2})^2}{2^3}$ .

Indice 1

Traite d'abord la parenthèse.

Indice 2

Ensuite applique la puissance de puissance, puis le quotient.

Voir la correction pas à pas

Dans la parenthèse : $2^5 \times 2^{-2} = 2^{5 + (-2)} = 2^3$ .
On élève au carré : $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$ .
On divise : $E = \dfrac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$ .
On calcule : $2^3 = 8$ .

$E = 2^3 = 8$ . Tout au long du calcul, la base reste 2 : seuls les exposants changent.

Exercice 6 Expression littérale

★★☆Environ 6 min

On considère $F = x^3 \times x^5 \div x^2$ pour $x$ un nombre non nul.

Simplifie $F$ en une seule puissance de $x$ .
Calcule la valeur de $F$ pour $x = 2$ .

Indice 1

Traite le produit, puis la division.

Indice 2

Pour la valeur numérique, remplace $x$ par 2 dans l'expression simplifiée.

Voir la correction pas à pas

Produit : $x^3 \times x^5 = x^{3+5} = x^8$ .
Division : $F = \dfrac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$ .
On remplace $x$ par 2 : $F = 2^6$ .
On calcule : $2^6 = 64$ .

$F = x^6$ , et pour $x = 2$ on obtient $64$ . Calculer la valeur d'une expression littérale contenant une puissance fait partie des attendus du cycle 4.¹

Exercice 7 Décomposer pour retrouver la même base

★★★Environ 8 min

Calcule $G = \dfrac{6^4}{2^4 \times 3^2}$ sans calculatrice, en décomposant $6$ .

Indice 1

Écris $6 = 2 \times 3$ .

Indice 2

Utilise $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ pour $6^4$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $6^4 = (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$ .
On remplace : $G = \dfrac{2^4 \times 3^4}{2^4 \times 3^2}$ .
On simplifie base par base : $\dfrac{2^4}{2^4} = 2^0 = 1$ et $\dfrac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$ .
On calcule : $G = 1 \times 3^2 = 9$ .

$G = 9$ . Contrôle numérique : $6^4 = 1\,296$ et $2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$ , puis $1\,296 \div 144 = 9$ .

Exercice 8 Produit de nombres en écriture scientifique

★★★Environ 8 min

Une bande très fine a la forme d'un rectangle de $4 \times 10^{3}$ mm de long et $5 \times 10^{-5}$ mm de large. Son aire $H$ , en mm $^2$ , est le produit de ces deux longueurs.

Calcule $H = (4 \times 10^3) \times (5 \times 10^{-5})$ et donne le résultat en écriture décimale.

Indice 1

Regroupe d'un côté les nombres 4 et 5, de l'autre les puissances de 10.

Indice 2

$4 \times 5 = 20$ n'est pas compris entre 1 et 10 : ce n'est pas grave pour le calcul.

Voir la correction pas à pas

On regroupe : $H = (4 \times 5) \times (10^3 \times 10^{-5})$ .
On calcule chaque groupe : $4 \times 5 = 20$ et $10^3 \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = 10^{-2}$ .
On écrit : $H = 20 \times 10^{-2}$ .
Comme $10^{-2} = 0{,}01$ , on obtient $H = 20 \times 0{,}01 = 0{,}2$ mm $^2$ .
En notation scientifique, cela s'écrit $2 \times 10^{-1}$ mm $^2$ .

$H = 0{,}2$ mm $^2$ , soit $2 \times 10^{-1}$ mm $^2$ en notation scientifique. Quand le premier facteur dépasse 10, on ajuste à la fin : $20 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-1}$ .

Les questions qu'on se pose

Peut-on appliquer la règle du produit quand les bases sont différentes ?

Non, pas directement. La règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ demande la même base. Pour $2^3 \times 3^2$ , on calcule $8 \times 9 = 72$ . Parfois on peut décomposer une base : $6^4 = 2^4 \times 3^4$ permet de retrouver des bases communes, comme dans l'exercice sur $G$ .

Que faire d'un exposant négatif dans un calcul ?

Tu peux le garder tel quel et appliquer les mêmes règles, en soignant les signes : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{3}$ . Si tu veux la valeur décimale, rappelle-toi que $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , donc $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ . L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances · Ministère de l'Éducation Nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Nombres et calculs (incluant puissances), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Attendus de fin d'année 4e - Mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Règle à calcul, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Facteur de puissance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

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Les exercices

Exercice 1 Produit de puissances de 2

Exercice 2 Quotient de puissances de 5

Exercice 3 Puissance d'une puissance

Exercice 4 Enchaîner avec des exposants négatifs

Exercice 5 Produit, puissance et quotient mélangés

Exercice 6 Expression littérale

Exercice 7 Décomposer pour retrouver la même base

Exercice 8 Produit de nombres en écriture scientifique

Les questions qu'on se pose

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