Règles de calcul sur les puissances : fiche de 4e

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Même base : on additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient.
Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, $(a^m)^n = a^{m \times n}$ .
Même exposant : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ .
Aucune règle ne simplifie une somme ou une différence de puissances.
Les puissances de 10 suivent les mêmes règles, avec des exposants positifs ou négatifs.

Rappel : ce qu'est une puissance

Au cycle 4, on calcule la valeur d'expressions qui contiennent des puissances, mêlées à des additions, des soustractions et des produits.¹ Les règles ci-dessous évitent de tout développer à la main. Elles découlent directement de la définition : on compte des facteurs.

Les règles à connaître

À retenirLes cinq règles

Pour $a$ et $b$ non nuls, $m$ et $n$ entiers relatifs :

Règle	Formule
Produit, même base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$
Quotient, même base	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Puissance d'une puissance	$(a^m)^n = a^{m \times n}$
Produit, même exposant	$(a \times b)^n = a^n \times b^n$
Quotient, même exposant	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Démonstration · Pourquoi les exposants s'additionnent

$a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a)$ . On obtient 5 facteurs $a$ en tout, donc $a^3 \times a^2 = a^5 = a^{3+2}$ . Le même comptage explique les autres règles : dans $(a^3)^2$ , on a 2 paquets de 3 facteurs, soit 6 facteurs.

Puissances de 10

En 4e, on utilise les puissances de 10 d'exposants positifs ou négatifs.³ Elles obéissent aux mêmes règles que les autres puissances. Quand les exposants sont négatifs, on applique la règle sans changer de méthode.

Les pièges classiques

Les questions qu'on se pose

Peut-on appliquer les règles quand les bases sont différentes ?

Pour un produit de bases différentes, la règle des exposants qui s'additionnent ne marche pas. Si les exposants sont les mêmes, tu peux regrouper : $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$ . Sinon, calcule chaque puissance.

Que vaut une puissance d'exposant 0 ?

Pour un nombre non nul, $a^0 = 1$ . Cela se retrouve avec le quotient : $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$ et, par la règle, $a^{3-3} = a^0$ .

Pourquoi apprendre ces règles si la calculatrice existe ?

Elles servent à simplifier des écritures littérales, à manipuler les puissances de 10 sans erreur et à vérifier un résultat. La calculatrice ne remplace pas le choix de la bonne règle.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances · Ministère de l'Éducation Nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Puissances, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Nombres et calculs (incluant puissances), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Attendus de fin d'année 4e - Mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Règle à calcul, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Facteur de puissance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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