La contraposée : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La contraposée de « si A alors B » est « si non B alors non A » : on nie les deux phrases et on les échange.
Une propriété vraie a toujours une contraposée vraie : les deux disent la même chose.¹⁴
La réciproque (« si B alors A ») est une autre phrase : elle peut être fausse même quand la propriété est vraie.⁴
Avec Pythagore : si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle en A.
Piège : « si non A alors non B » n'est pas la contraposée, c'est un raisonnement faux.

Pourquoi étudier la contraposée ?

Tu connais le théorème de Pythagore et sa réciproque. Il reste une troisième phrase à maîtriser, et le programme de la fin du collège la cite avec les deux autres : la contraposée.¹ Le programme demande de connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et d'y mener un vrai travail de logique.¹

Pourquoi ce travail de logique ? Parce qu'en géométrie, on ne cherche pas seulement à prouver qu'une figure possède une propriété. On cherche aussi à prouver qu'elle ne la possède pas. Un triangle dessiné au brouillon a l'air rectangle ? Une mesure à la règle n'est jamais une preuve. La contraposée, elle, permet de conclure avec des calculs.

Dans ce cours, tu vas :

relire ce qu'est une propriété de la forme « si... alors... » ;
construire la contraposée d'une propriété, étape par étape ;
la distinguer de la réciproque et d'un raisonnement faux qui lui ressemble ;
l'appliquer au théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

Chaque idée est illustrée par un exemple de la vie courante avant de passer à la géométrie. La logique est la même dans les deux cas.

Rappel : les propriétés « si A alors B »

La plupart des théorèmes de géométrie ont la même forme : « Si une condition A est vraie, alors une conclusion B est vraie ». La partie A s'appelle l'hypothèse (ce qu'on sait), la partie B s'appelle la conclusion (ce qu'on en tire).

Définition de la contraposée

ÉcrireMettre la propriété sous la forme si A alors B.
Nier BÉcrire non B : ce sera la nouvelle hypothèse.
Nier AÉcrire non A : ce sera la nouvelle conclusion.
RelireVérifier que la phrase est correcte en français.

Fabriquer une contraposée · De la propriété à sa contraposée.

Contraposée, réciproque et faux raisonnement

À partir d'une propriété « si A alors B », on peut fabriquer trois autres phrases. Elles se ressemblent, mais elles ne valent pas la même chose. C'est ici que se jouent presque toutes les erreurs.

Quatre phrases construites à partir de « s'il pleut, alors le sol est mouillé »
Phrase	Forme	Exemple	Lien avec la propriété
Propriété	si A alors B	S'il pleut, le sol est mouillé	Point de départ
Réciproque	si B alors A	Si le sol est mouillé, il pleut	Pas équivalente
Contraposée	si non B alors non A	Si le sol n'est pas mouillé, il ne pleut pas	Équivalente
Faux raisonnement	si non A alors non B	S'il ne pleut pas, le sol n'est pas mouillé	Équivalente à la réciproque

Quatre phrases construites à partir de « s'il pleut, alors le sol est mouillé » · Seule la contraposée est équivalente à la propriété de départ.

Pourquoi la contraposée est toujours vraie

D'après le programme, une propriété vraie a toujours une contraposée vraie.¹ À ton niveau, on ne le prouve pas par de longs calculs : un petit raisonnement suffit pour s'en convaincre.

Démonstration · Une justification en trois phrases

Suppose que la propriété « si A alors B » soit vraie. Suppose ensuite que B soit faux.

Si A était vrai, alors B serait vrai, puisque la propriété est vraie.
Or B est faux : c'est ce qu'on a supposé.
Donc A ne peut pas être vrai. Autrement dit, « non B » entraîne « non A ».

C'est exactement la contraposée : on est parti de « non B » et on a obtenu « non A ».

La contraposée du théorème de Pythagore

Le programme place ensemble le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée.¹ Voici les trois énoncés pour un triangle ABC, avec $BC$ comme plus grand côté.

Compare la contraposée à la phrase de départ. La conclusion de Pythagore était « $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ». Sa négation est « $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ », qui devient l'hypothèse. L'hypothèse de départ était « ABC est rectangle en A ». Sa négation est « ABC n'est pas rectangle en A », qui devient la conclusion. Les deux gestes ont été faits : nier et échanger.

Méthode et exemples rédigés

Exercices corrigés

Exercice 1 Écrire des contraposées

★☆☆Environ 8 min

Écris la contraposée de chacune des propriétés suivantes, puis explique en quoi ta phrase n'est pas une réciproque.

« Si un triangle est équilatéral, alors il a trois côtés de même longueur. »
« Si un nombre est divisible par 10, alors il est divisible par 5. »
« Si un triangle ABC est rectangle en A, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . »

Indice 1

Nie la conclusion pour obtenir la nouvelle hypothèse.

Indice 2

Pour la phrase 3, nie une égalité avec le signe différent.

Voir la correction pas à pas

Phrase 1 : A = « le triangle est équilatéral », B = « il a trois côtés de même longueur ». La contraposée est : « Si un triangle n'a pas trois côtés de même longueur, alors il n'est pas équilatéral. »
Phrase 2 : A = « le nombre est divisible par 10 », B = « il est divisible par 5 ». La contraposée est : « Si un nombre n'est pas divisible par 5, alors il n'est pas divisible par 10. »
Phrase 3 : la négation de la conclusion est $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , la négation de l'hypothèse est « ABC n'est pas rectangle en A ». La contraposée est : « Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors ABC n'est pas rectangle en A. »
Chacune de ces phrases nie les deux parties et les échange : ce sont des contraposées, pas des réciproques. Une réciproque aurait échangé sans rien nier.

Une contraposée se reconnaît à ses deux négations. Si une phrase échange sans nier, c'est une réciproque.

Exercice 2 Un triangle est-il rectangle ?

★★☆Environ 10 min

Un triangle RST a pour côtés $RS = 6$ cm, $ST = 7$ cm et $RT = 10$ cm.

Quel est le plus grand côté ?
Calcule $RT^2$ puis $RS^2 + ST^2$ .
Le triangle est-il rectangle ? Justifie avec le bon théorème.
Quel est l'écart, en cm², entre $RT^2$ et $RS^2 + ST^2$ ?

Indice 1

Le plus grand côté est celui qu'on met seul d'un côté de l'égalité.

Indice 2

Si les deux nombres sont différents, quel théorème s'applique ?

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est $[RT]$ , qui mesure 10 cm.
$RT^2 = 10^2 = 100$ cm².
$RS^2 + ST^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$ cm².
On a $RT^2 \neq RS^2 + ST^2$ . D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle RST n'est pas rectangle en S.
L'écart vaut $100 - 85 = 15$ cm².

Les deux nombres sont différents : le triangle RST n'est pas rectangle en S, et l'écart entre les deux est de 15 cm².

Exercice 3 La charpente du menuisier

★★★Environ 12 min

Un menuisier assemble un cadre triangulaire avec trois planches de 1,2 m, 1,6 m et 2,1 m. Il voudrait un angle droit entre les deux planches les plus courtes.

Calcule le carré de la plus grande longueur, puis la somme des carrés des deux autres.
Peut-il avoir l'angle droit qu'il cherche ? Justifie.
Donne l'écart entre les deux nombres comparés, en m².
Quelle longueur de la plus grande planche aurait donné un angle droit ?

Indice 1

Compare $2{,}1^2$ à $1{,}2^2 + 1{,}6^2$ .

Indice 2

Pour la question 4, cherche la longueur dont le carré vaut $1{,}2^2 + 1{,}6^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le carré de la plus grande longueur vaut $2{,}1^2 = 4{,}41$ m².
La somme des carrés des deux autres vaut $1{,}2^2 + 1{,}6^2 = 1{,}44 + 2{,}56 = 4$ m².
Les deux nombres sont différents. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle : le menuisier n'obtiendra pas l'angle droit.
L'écart vaut $4{,}41 - 4 = 0{,}41$ m².
Pour un angle droit, il faudrait $\ell^2 = 4$ , donc $\ell = 2$ m : avec une planche de 2 m, la réciproque s'appliquerait.

Avec 2,1 m, le cadre n'a pas d'angle droit entre les deux planches courtes ; l'écart est de 0,41 m². Une planche de 2 m aurait convenu.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre la contraposée et la réciproque ?

La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion sans rien nier : « si B alors A ».⁴ La contraposée les échange aussi, mais en niant les deux : « si non B alors non A ».⁴ La contraposée d'une propriété vraie est toujours vraie ; la réciproque peut être fausse.

À quoi sert la contraposée du théorème de Pythagore ?

Elle sert à prouver qu'un triangle n'est pas rectangle. Tu calcules le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. Si les nombres sont différents, tu conclus qu'il n'y a pas d'angle droit. C'est utile quand une figure paraît rectangle mais ne l'est pas.

Comment savoir s'il faut utiliser la réciproque ou la contraposée ?

Regarde le résultat de ton calcul. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , utilise la réciproque : le triangle est rectangle. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , utilise la contraposée : le triangle n'est pas rectangle.¹ Dans les deux cas, écris le nom du théorème dans ta phrase de conclusion.

Pourquoi la phrase « si non A alors non B » est-elle fausse comme raisonnement ?

Parce qu'elle nie sans échanger. Avec l'exemple de la pluie, « s'il ne pleut pas, alors le sol n'est pas mouillé » oublie que le sol peut être mouillé par autre chose.⁴ Cette phrase est équivalente à la réciproque, pas à la propriété de départ, donc elle peut être fausse.⁴

Peut-on démontrer une propriété en passant par sa contraposée ?

Oui. Puisque les deux phrases sont équivalentes, démontrer « si non B alors non A » revient à démontrer « si A alors B ».⁴ On choisit la contraposée quand « non B » donne un point de départ plus facile à exploiter.

Sources

Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
Ressources pédagogiques – Espace et géométrie, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Exerciseur Pythagore, réciproque et contraposée – Fiche professeur, IREM Université de Lille. Consulté le 12 novembre 2026.
Proposition contraposée, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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L'essentiel

Pourquoi étudier la contraposée ?

Rappel : les propriétés « si A alors B »

Définition de la contraposée

Contraposée, réciproque et faux raisonnement

Pourquoi la contraposée est toujours vraie

La contraposée du théorème de Pythagore

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Exercice 1 Écrire des contraposées

Exercice 2 Un triangle est-il rectangle ?

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