La contraposée : exercices corrigés de 4e

On repère A : « le nombre est multiple de 4 » et B : « le nombre est pair ».

La négation de B est « le nombre est impair » ; celle de A est « le nombre n'est pas multiple de 4 ».

Contraposée : « si un nombre entier est impair, alors il n'est pas multiple de 4 ».

Réciproque : « si un nombre entier est pair, alors il est multiple de 4 ».

Le nombre 6 est pair mais n'est pas multiple de 4 : la réciproque est fausse.

Ici A est « c'est un chat » et B est « c'est un mammifère ».

La phrase (a) est « si B alors A » : c'est la réciproque.

La phrase (b) est « si non B alors non A » : c'est la contraposée.

La phrase (c) est « si non A alors non B » : c'est la négation de l'antécédent.

Seule (b) est équivalente à la phrase de départ ; (a) et (c) sont fausses, car un chien est un mammifère sans être un chat.

Le plus grand côté est $[BC]$ ; il serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle.

On calcule $BC^2 = 8^2 = 64$.

On calcule $AB^2 + AC^2 = 25 + 36 = 61$.

Comme $64 \neq 61$, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres.

Par la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle. L'écart vaut $64 - 61 = 3$ cm².

Si EFG était rectangle en E, l'hypoténuse serait $[FG]$, le plus grand côté.

On calcule $FG^2 = 26^2 = 676$.

On calcule $EF^2 + EG^2 = 49 + 576 = 625$.

Comme $676 \neq 625$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

Par la contraposée, EFG n'est pas rectangle en E. L'écart vaut $676 - 625 = 51$ cm².

Le plus grand côté est $[LM]$ (7 cm).

On calcule $LM^2 = 7^2 = 49$.

On calcule $KL^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25$ et $KM^2 = 6^2 = 36$, donc $KL^2 + KM^2 = 56{,}25$.

Comme $49 \neq 56{,}25$, l'égalité de Pythagore est fausse.

Par la contraposée, KLM n'est pas rectangle. L'écart vaut $56{,}25 - 49 = 7{,}25$ cm².

Ici A est « c'est un rectangle » et B est « c'est un parallélogramme ».

Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un parallélogramme, alors ce n'est pas un rectangle ».⁴

PQRS n'a pas ses côtés opposés parallèles : ce n'est donc pas un parallélogramme, donc ce n'est pas un rectangle.

Réciproque : « si un quadrilatère est un parallélogramme, alors c'est un rectangle ».

Cette réciproque est fausse : un parallélogramme peut avoir des angles qui ne sont pas droits.⁴

Pour un angle droit en A, l'hypoténuse serait $[BC]$. On calcule $AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100$ et $BC^2 = 81$.

Comme $100 \neq 81$, la contraposée donne : ABC n'est pas rectangle en A. L'écart $AB^2 + AC^2 - BC^2$ vaut $100 - 81 = 19$ cm².

Pour un angle droit en B, l'hypoténuse serait $[AC]$ : $AC^2 = 64$ et $AB^2 + BC^2 = 36 + 81 = 117$. Comme $64 \neq 117$, pas d'angle droit en B.

Pour un angle droit en C, l'hypoténuse serait $[AB]$ : $AB^2 = 36$ et $AC^2 + BC^2 = 64 + 81 = 145$. Comme $36 \neq 145$, pas d'angle droit en C.

Aucun des trois angles n'est droit : ABC n'est pas un triangle rectangle.

Si ABC était rectangle en B, on aurait $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Donc $BC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$.

Comme $BC > 0$, on obtient $BC = \sqrt{225} = 15$ cm.

On formule l'implication : « si ABC est rectangle en B, alors $BC = 15$ cm ».

Sa contraposée est « si $BC \neq 15$ cm, alors ABC n'est pas rectangle en B ». Comme $BC = 14$ cm, le triangle n'est pas rectangle en B.