Mathématiques · 4e
La contraposée : quiz de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- La contraposée de « si A alors B » est « si non B alors non A » : elle dit exactement la même chose que l'implication de départ.4
- Elle ne se confond pas avec la réciproque « si B alors A », qui peut être fausse même si l'implication de départ est vraie.4
- Si un théorème est vrai, sa contraposée l'est aussi : le programme du cycle 4 demande de le savoir, notamment pour Pythagore.1
- Avec Pythagore, elle sert à prouver qu'un triangle n'est pas rectangle quand l'égalité des carrés n'est pas vérifiée.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la contraposée, une notion de logique que le programme de 4e relie au théorème de Pythagore et à sa réciproque.1 Tu y travailleras trois compétences : écrire la contraposée d'une phrase, ne pas la mélanger avec la réciproque, puis t'en servir dans un triangle.
Quiz
13 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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La contraposée inverse l'ordre et nie les deux parties : « si non B alors non A ».4 « Si B alors A » est la réciproque : on a échangé les parties sans les nier. « Si non A alors non B » nie sans échanger : c'est la contraposée de la réciproque, pas celle de l'implication. « Si A alors non B » change le sens de la phrase et n'a aucun lien d'équivalence avec elle.
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C'est vrai : la contraposition transforme une implication en une implication équivalente.4 On peut donc démontrer la contraposée à la place de l'implication de départ. Ce qui est faux, c'est de croire cela pour la réciproque, qui est une phrase différente.
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Ici A = « c'est un chat » et B = « c'est un mammifère ». La contraposée est « si non B alors non A », donc « si ce n'est pas un mammifère, alors ce n'est pas un chat ».4 La première proposition est la réciproque, et elle est fausse (un chien est un mammifère sans être un chat). La troisième est fausse aussi : un chien n'est pas un chat et pourtant c'est un mammifère.
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La réciproque échange simplement les deux parties : « si B alors A ».4 Les propositions avec « non » sont les autres formes à distinguer : la deuxième est la contraposée, la troisième est équivalente à la réciproque. Retiens : la contraposée nie et inverse, la réciproque inverse seulement.
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A = « ABC est rectangle en A » et B = « BC² = AB² + AC² ». La contraposée est « si non B alors non A » : « si BC² ≠ AB² + AC², alors ABC n'est pas rectangle en A ».1 La première proposition est la réciproque de Pythagore. La deuxième nie sans inverser : elle revient à la réciproque et ne se déduit pas du théorème. La dernière est fausse : elle conclut à un angle droit alors que l'égalité de Pythagore n'est justement pas vérifiée.
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On calcule . L'erreur fréquente est de calculer : on additionne les carrés, pas les longueurs avant de mettre au carré.
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Comme , l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. Par la contraposée du théorème, le triangle n'est pas rectangle en A.1 La réciproque ne s'applique pas : elle demande une égalité, qui est ici fausse. Le fait que 64 et 61 soient proches ne change rien : une égalité est vraie ou fausse. Enfin, le test de l'angle en A ne dit rien sur les autres sommets.
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Quand l'égalité est vérifiée, on utilise la réciproque : elle part de l'égalité des carrés pour conclure à l'angle droit.1 La contraposée, elle, part d'une égalité fausse pour conclure que l'angle n'est pas droit. Le théorème direct part d'un angle droit déjà connu, ce qui n'est pas la situation. Et mesurer l'angle ne serait pas une démonstration.
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C'est faux. Un exemple classique : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un parallélogramme » est vrai, mais « si un quadrilatère est un parallélogramme, alors c'est un rectangle » est faux.4 Pour Pythagore, la réciproque est vraie, mais cela se démontre : cela ne découle pas de la logique seule.
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Seule la contraposée « si non B alors non A » est équivalente à l'implication de départ.4 La réciproque et la phrase « si non A alors non B » sont équivalentes entre elles, mais pas à l'implication initiale : elles peuvent être fausses alors que celle-ci est vraie.
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La contraposée est équivalente à l'implication (première proposition). La réciproque « si B alors A » a pour contraposée « si non A alors non B » : ces deux phrases sont donc équivalentes (troisième proposition).4 Les propositions 2 et 4 associent l'implication à sa réciproque, ou à une phrase équivalente à sa réciproque : en général, elles ne sont pas équivalentes.
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La contraposée part d'une égalité fausse pour conclure à l'absence d'angle droit.1 Calculer l'hypoténuse relève du théorème direct, avec un triangle déjà connu rectangle. Prouver qu'un triangle est rectangle grâce à une égalité vraie relève de la réciproque. L'aire n'a pas de lien avec cette notion.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre la contraposée et la réciproque ?
Pourquoi le programme de 4e parle-t-il de contraposée avec Pythagore ?
Le programme demande de connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et de mener un travail de logique sur ces deux dernières.1 Concrètement, la contraposée te permet de justifier qu'un triangle n'est pas rectangle quand le calcul des carrés ne donne pas l'égalité attendue.
Comment savoir si je dois utiliser la réciproque ou la contraposée ?
Regarde le résultat de ton calcul. Si l'égalité est vraie, tu emploies la réciproque pour conclure que le triangle est rectangle. Si elle est fausse, tu emploies la contraposée pour conclure qu'il ne l'est pas. Dans les deux cas, écris ton calcul des deux côtés avant de conclure.
Sources
Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale
- Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
- Ressources pédagogiques – Espace et géométrie, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
- Exerciseur Pythagore, réciproque et contraposée – Fiche professeur, IREM Université de Lille. Consulté le 12 novembre 2026.
- Proposition contraposée, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
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