La réciproque du théorème de Pythagore : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une réciproque échange l'hypothèse et la conclusion d'une propriété « si… alors… » : elle n'est pas toujours vraie, il faut la démontrer à part.
Théorème de Pythagore : triangle rectangle ⟹ $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Il sert à calculer une longueur.
Réciproque : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle est rectangle en $A$ . Elle sert à prouver un angle droit.
Méthode : calculer séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres, comparer, conclure.
Si les deux nombres sont différents, le triangle n'est pas rectangle : on utilise alors la contraposée de Pythagore (chapitre suivant).
Au programme, la réciproque fait partie des notions à connaître et à appliquer en géométrie plane ¹ ².

Pourquoi parler de réciproque ?

Tu connais déjà le théorème de Pythagore : il te permet de calculer un côté d'un triangle rectangle quand tu connais les deux autres. Mais imagine une situation différente. Tu as un triangle dessiné sans angle droit marqué, avec seulement les trois longueurs. Comment savoir s'il est rectangle ? Mesurer à l'équerre ne prouve rien en géométrie : un dessin est toujours approximatif.

C'est là que la réciproque intervient. Elle te donne un moyen de démontrer qu'un angle est droit, uniquement avec des calculs sur les longueurs.

Le programme du cycle 4 demande de connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et de mener un travail de logique sur la réciproque et la contraposée ¹. Les attendus de fin d'année précisent qu'il s'agit d'utiliser Pythagore et sa réciproque pour démontrer en géométrie plane ². Dans ce cours, on s'occupe de la réciproque ; la contraposée viendra juste après.

Comprendre ce qu'est une réciproque en logique

Beaucoup de propriétés de maths s'écrivent sous la forme « si (hypothèse) alors (conclusion) ». On peut les noter $P \Rightarrow Q$ , où $P$ est l'hypothèse et $Q$ la conclusion.

Rappel : le théorème de Pythagore

Ici, l'hypothèse $P$ est « le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ » et la conclusion $Q$ est « $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ». Le théorème va donc de l'angle droit vers l'égalité des carrés. Il ne dit rien dans l'autre sens : pour l'instant, rien ne nous garantit qu'une égalité de carrés produit un angle droit.

La réciproque du théorème de Pythagore

Cette fois on part de l'égalité (hypothèse) pour arriver à l'angle droit (conclusion). Contrairement à la réciproque du « sol mouillé », celle-ci est vraie : elle fait partie des résultats à connaître au programme ¹. Tu peux donc l'utiliser dans une démonstration, à condition de la citer correctement.

Méthode : démontrer qu'un triangle est rectangle

Plus grand côtéRepérer le côté le plus long.
Son carréCalculer le carré de ce côté.
Somme des carrésCalculer la somme des carrés des deux autres.
ComparerLes deux nombres sont-ils égaux ?
ConclureCiter la propriété et nommer l'angle droit.

Démontrer qu'un triangle est rectangle · Les étapes de la réciproque de Pythagore.

Pièges et erreurs à éviter

Rédiger une démonstration complète

Dans un devoir, la correction attend une rédaction en trois temps : les calculs, la comparaison, puis la phrase de conclusion avec le nom de la propriété. Voici un modèle à reproduire.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un triangle rectangle ?

★☆☆Environ 6 min

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 7$ cm, $AC = 24$ cm et $BC = 25$ cm. Calcule $AB^2 + AC^2$ , puis dis si le triangle est rectangle. Indique la valeur de $AB^2 + AC^2$ .

Indice 1

Quel est le plus grand côté ?

Indice 2

Calcule $BC^2$ à part, puis compare.

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est $[BC]$ (25 cm).
$BC^2 = 25^2 = 625$ .
$AB^2 + AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ .
On constate $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $A$ .

La somme des carrés vaut $625$ cm², comme $BC^2$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Exercice 2 Un triangle qui n'est pas rectangle

★★☆Environ 8 min

Le triangle $EFG$ a pour côtés $EF = 9$ cm, $FG = 12$ cm et $EG = 16$ cm. Est-il rectangle en $F$ ? Calcule l'écart $EG^2 - (EF^2 + FG^2)$ .

Indice 1

Le plus grand côté est $[EG]$ .

Indice 2

Calcule $EF^2 + FG^2$ séparément de $EG^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est $[EG]$ (16 cm).
$EG^2 = 16^2 = 256$ .
$EF^2 + FG^2 = 81 + 144 = 225$ .
L'écart est $256 - 225 = 31$ .
Comme $256 \neq 225$ , le triangle $EFG$ n'est pas rectangle en $F$ .

L'écart vaut $31$ , donc les deux nombres sont différents : $EFG$ n'est pas rectangle en $F$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Pythagore part d'un triangle rectangle pour calculer une longueur ou écrire une égalité. La réciproque part de l'égalité des carrés pour prouver l'angle droit. Dans le premier cas, on exploite un angle droit connu ; dans le second, on le démontre.

Toutes les réciproques sont-elles vraies ?

Non. La réciproque de « s'il pleut, le sol est mouillé » est fausse. Chaque réciproque se démontre ou se réfute par un contre-exemple. Celle de Pythagore est vraie, mais ce n'est pas une règle générale ; le programme demande justement un travail de logique à ce sujet ¹.

Comment savoir quel est le plus grand côté ?

Compare simplement les trois longueurs données. Si elles sont dans des unités différentes, convertis d'abord. Le plus grand côté est le seul à pouvoir être l'hypoténuse, donc c'est son carré que l'on compare à la somme des deux autres carrés.

Que faire si les deux nombres sont différents ?

Tu conclus que le triangle n'est pas rectangle. Pour justifier rigoureusement ce cas, on utilise la contraposée du théorème de Pythagore, qui fait l'objet du chapitre suivant. En attendant, écris bien les deux calculs et constate clairement la différence.

Sources

Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
4e Mathématiques ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Bijection réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
Fonction circulaire réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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