La réciproque de Pythagore : exercices corrigés de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La réciproque de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés.¹
On compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
Si les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l'est pas.
Une phrase vraie n'a pas toujours une réciproque vraie : un contre-exemple suffit pour le montrer.¹

Comment utiliser ces exercices

Le programme de 4e demande de connaître le théorème de Pythagore et sa réciproque, et de mener un vrai travail de logique sur la réciproque.¹² Ces exercices t'entraînent à faire les deux : calculer proprement, puis rédiger une conclusion juste. Cherche d'abord seul(e), avec un brouillon. Ouvre les indices si tu bloques, et la correction seulement à la fin.

Les exercices

Exercice 1 Le triangle 6, 8, 10

★☆☆Environ 5 min

Le triangle ABC a pour côtés $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm.

Calcule $AB^2 + AC^2$ , puis dis si le triangle ABC est rectangle. Si oui, précise en quel sommet.

Indice 1

Quel est le plus grand côté ?

Indice 2

Calcule $BC^2$ à part, puis $AB^2 + AC^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est [BC], qui mesure 10 cm.
D'une part, $BC^2 = 10^2 = 100$ .
D'autre part, $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
Les deux résultats sont égaux : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A, le sommet opposé à [BC].

Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle droit est toujours en face du plus grand côté.

Exercice 2 Le triangle 5, 12, 13

★☆☆Environ 5 min

Un triangle DEF a pour côtés $DE = 5$ cm, $DF = 12$ cm et $EF = 13$ cm.

Calcule la somme des carrés des deux petits côtés, puis conclus.

Indice 1

Le plus grand côté est [EF].

Indice 2

Compare $EF^2$ avec $DE^2 + DF^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est [EF] : 13 cm.
$EF^2 = 13^2 = 169$ .
$DE^2 + DF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ cm².
Les deux nombres sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, DEF est rectangle en D.

Le triangle DEF est rectangle en D.

Exercice 3 Un triangle qui n'est pas rectangle

★☆☆Environ 6 min

Le triangle GHI a pour côtés $GH = 4$ cm, $GI = 6$ cm et $HI = 7$ cm.

Calcule l'écart (en cm²) entre $GH^2 + GI^2$ et $HI^2$ , puis conclus. Le triangle GHI est-il rectangle ?

Indice 1

Le plus grand côté est [HI].

Indice 2

Si les deux nombres diffèrent, la conclusion est négative.

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est [HI] : 7 cm.
$HI^2 = 7^2 = 49$ .
$GH^2 + GI^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$ .
L'écart vaut $52 - 49 = 3$ cm².
Les deux nombres sont différents : le triangle GHI n'est pas rectangle.

Comme $HI^2 \neq GH^2 + GI^2$ , le triangle GHI n'est pas rectangle. Un seul écart, même petit, suffit à conclure.

Exercice 4 Direct, réciproque et contre-exemple

★★☆Environ 10 min

Voici deux phrases vraies :

(P1) Si un nombre est multiple de 10, alors il est multiple de 5.
(P2) Si un quadrilatère est un carré, alors ses quatre côtés ont la même longueur.

Écris la réciproque de chaque phrase.
Chaque réciproque est-elle vraie ? Si non, donne un contre-exemple.
Compare avec le théorème de Pythagore et sa réciproque : que remarques-tu ?

Indice 1

Pour écrire une réciproque, échange ce qui suit « si » et ce qui suit « alors ».

Indice 2

Un contre-exemple est un cas précis qui vérifie le début de la phrase mais pas la fin.

Voir la correction pas à pas

Réciproque de P1 : « Si un nombre est multiple de 5, alors il est multiple de 10. »
Elle est fausse : 15 est multiple de 5 mais pas de 10. C'est un contre-exemple.
Réciproque de P2 : « Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un carré. »
Elle est fausse : un losange dont les angles ne sont pas droits a quatre côtés égaux sans être un carré.
Pour Pythagore, la phrase directe et la réciproque sont toutes les deux vraies. Ce n'est pas automatique : chaque réciproque doit être examinée.¹

Une phrase vraie peut avoir une réciproque fausse. Un seul contre-exemple suffit à la réfuter. Le théorème de Pythagore a de la chance : sa réciproque est vraie aussi.

Exercice 5 Des mesures décimales

★★☆Environ 8 min

Un triangle JKL a pour côtés $JK = 2{,}1$ cm, $JL = 2{,}8$ cm et $KL = 3{,}5$ cm.

Calcule $JK^2 + JL^2$ , puis détermine si JKL est rectangle.

Indice 1

Pose les calculs de $2{,}1^2$ et $2{,}8^2$ séparément.

Indice 2

Compare avec $3{,}5^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est [KL] : 3,5 cm.
$KL^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25$ .
$JK^2 = 2{,}1^2 = 4{,}41$ et $JL^2 = 2{,}8^2 = 7{,}84$ .
$JK^2 + JL^2 = 4{,}41 + 7{,}84 = 12{,}25$ cm².
Les deux nombres sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, JKL est rectangle en J.

Le triangle JKL est rectangle en J. Les décimales ne changent pas la méthode, seulement le soin des calculs.

Exercice 6 Prouver puis calculer l'aire

★★★Environ 10 min

Un triangle MNP a pour côtés $MN = 9$ cm, $NP = 12$ cm et $MP = 15$ cm.

Démontre que MNP est rectangle et précise en quel point.
Calcule son aire en cm².

Indice 1

Le plus grand côté est [MP]. L'angle droit sera donc en N.

Indice 2

Dans un triangle rectangle, l'aire est la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit.

Voir la correction pas à pas

Le plus grand côté est [MP] : 15 cm.
$MP^2 = 15^2 = 225$ .
$MN^2 + NP^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ .
Les deux nombres sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, MNP est rectangle en N.
Les côtés de l'angle droit sont [NM] et [NP] : l'aire vaut $\dfrac{9 \times 12}{2} = \dfrac{108}{2} = 54$ cm².

MNP est rectangle en N et son aire est de 54 cm².

Exercice 7 Repérer l'erreur de l'élève

★★★Environ 10 min

Un élève rédige ainsi pour un triangle ABC avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm :

« $AB^2 + BC^2 = 36 + 100 = 136$ et $AC^2 = 64$ . Les résultats sont différents, donc d'après le théorème de Pythagore, ABC n'est pas rectangle. »

Quelle erreur de méthode a-t-il commise ?
Pourquoi sa conclusion est-elle fausse, et quel théorème faut-il citer dans une conclusion correcte ?
Réécris une rédaction correcte.

Indice 1

Quel côté faut-il mettre seul d'un côté de l'égalité ?

Indice 2

Le théorème direct ou sa réciproque ?

Voir la correction pas à pas

Erreur de méthode : l'élève a isolé [AC], qui n'est pas le plus grand côté. Le plus grand côté est [BC].
Erreur dans la conclusion : son calcul étant faux, il conclut à tort que ABC n'est pas rectangle. Avec le bon côté, on obtient une égalité, et pour conclure qu'un triangle est rectangle il faut citer la réciproque du théorème de Pythagore (pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle, on utilise la contraposée du théorème de Pythagore).¹
Rédaction correcte : le plus grand côté est [BC]. D'une part $BC^2 = 10^2 = 100$ . D'autre part $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
Les nombres sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

L'élève avait conclu faux à cause d'un mauvais choix de côté. Commence toujours par repérer le plus grand côté.

Exercice 8 Le terrain est-il rectangulaire ?

★★★Environ 10 min

Un jardinier trace un terrain en forme de quadrilatère ABCD. Il mesure $AB = 30$ m, $BC = 40$ m, et la diagonale $AC = 51$ m.

Quelle longueur devrait avoir la diagonale [AC] pour que l'angle en B soit droit ?
L'angle ABC est-il droit ?

Indice 1

Si l'angle en B était droit, [AC] serait le plus grand côté du triangle ABC.

Indice 2

Calcule $30^2 + 40^2$ , puis la racine carrée.

Voir la correction pas à pas

Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC] : 51 m.
$AC^2 = 51^2 = 2601$ .
$AB^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$ .
Pour un angle droit, il faudrait $AC^2 = 2500$ , donc $AC = \sqrt{2500} = 50$ m.
Les deux nombres sont différents : le triangle ABC n'est pas rectangle en B, donc l'angle ABC n'est pas droit.

La diagonale devrait mesurer 50 m. Avec 51 m, l'angle n'est pas droit : le jardinier doit corriger son tracé.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si j'utilise le théorème de Pythagore ou sa réciproque ?

Regarde ce que l'énoncé te donne. Si on t'annonce un angle droit et qu'il faut trouver une longueur, c'est le théorème direct. Si on te donne les trois longueurs et qu'on te demande si le triangle est rectangle, c'est la réciproque qui permet de conclure qu'il l'est ; s'il ne l'est pas, on s'appuie sur la contraposée du théorème.¹

Pourquoi faut-il mettre le plus grand côté seul ?

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté, en face de l'angle droit. Si un angle droit existe, il est donc forcément en face du plus grand côté. Tester un autre côté peut te faire conclure à tort que le triangle n'est pas rectangle, comme dans l'exercice de l'erreur de l'élève.

Sources

Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
4e Mathématiques ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Bijection réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
Fonction circulaire réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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Exercice 1 Le triangle 6, 8, 10

Exercice 2 Le triangle 5, 12, 13

Exercice 3 Un triangle qui n'est pas rectangle

Exercice 4 Direct, réciproque et contre-exemple

Exercice 5 Des mesures décimales

Exercice 6 Prouver puis calculer l'aire

Exercice 7 Repérer l'erreur de l'élève

Exercice 8 Le terrain est-il rectangulaire ?

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