Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La réciproque d'une phrase « si A, alors B » est la phrase « si B, alors A » : on échange l'hypothèse et la conclusion.
Le programme demande de connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et de mener un travail de logique dessus.1
Pour un triangle, la réciproque de Pythagore sert à prouver qu'un angle est droit à partir des longueurs des côtés.
Méthode : calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis comparer.
Piège : une phrase vraie n'a pas toujours une réciproque vraie, il faut la démontrer ou la justifier.
Ce que veut dire « réciproque »
Où la réciproque apparaît au programme
Au cycle 4, il faut connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et mener un travail de logique sur la réciproque et la contraposée.1 En classe de 4e, les attendus de fin d'année demandent d'utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque pour démontrer des résultats de géométrie plane.2
La réciproque de Pythagore
Les pièges à éviter
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La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion : on obtient « si pair, alors multiple de 4 ». La deuxième proposition garde l'ordre en niant les deux parties : ce n'est pas la réciproque. Remarque que cette réciproque est fausse, car 6 est pair sans être multiple de 4.
132=169 et 52+122=25+144=169 : l'égalité est vérifiée, la réciproque de Pythagore donne un triangle rectangle. Additionner les longueurs ne prouve rien, et être le plus grand côté ne suffit pas non plus.
Les deux nombres 81 et 85 sont différents, donc le triangle n'est pas rectangle. Être « proche » ne compte pas : il faut une égalité exacte.
C'est bien son rôle : on part des trois longueurs et on conclut à l'angle droit. C'est le théorème direct qui, lui, part de l'angle droit pour calculer une longueur.
Faux : « si c'est un chat, alors c'est un mammifère » est vraie, mais sa réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple du chien. Pour Pythagore, les deux sens sont vrais, mais ce n'est pas une règle générale.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser Pythagore ou sa réciproque ?
Regarde ce que l'énoncé te donne. Si on te dit que le triangle est rectangle et qu'on te demande une longueur, utilise Pythagore. Si on te donne les trois longueurs et qu'on te demande si le triangle est rectangle, utilise la réciproque.
Pourquoi faut-il comparer le plus grand côté aux deux autres ?
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus long. Si le triangle est rectangle, c'est donc forcément le plus grand côté qui joue ce rôle. Tester un autre côté n'a donc aucun sens.
Que faire si les deux nombres ne sont pas égaux ?
Tu conclus que le triangle n'est pas rectangle. Tu n'as pas besoin de dire de quel côté l'écart se fait : il suffit de constater que les deux résultats sont différents. Le programme prévoit d'ailleurs un travail de logique sur ce type de conclusion, avec la contraposée.1