Mathématiques · 4e
La réciproque de Pythagore : quiz de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.
- On compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
- Égalité : le triangle est rectangle. Pas d'égalité : il ne l'est pas.
- Un dessin ou une mesure ne prouvent rien : il faut le calcul.
- Le théorème direct sert à calculer une longueur, la réciproque à justifier un angle droit.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la réciproque du théorème de Pythagore. Au programme du cycle 4, on doit connaître ce théorème, sa réciproque et sa contraposée 1. En classe de 4e, on s'en sert pour démontrer des résultats de géométrie plane 2.
Tu y travailleras trois choses : reconnaître quand utiliser la réciproque, la rédiger sans oublier d'étape, et repérer les erreurs classiques. Lis chaque énoncé en entier, fais tes calculs au brouillon, puis lis la correction même si ta réponse est juste.
Quiz
12 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le plus grand côté est . On calcule et . Les deux nombres sont égaux, donc d'après la réciproque le triangle est rectangle en , en face de . La réponse « » n'a rien à voir avec un angle droit : cette inégalité sert seulement à savoir si le triangle existe. Dire que s'oppose à revient à comparer un carré avec une longueur non élevée au carré, ce qui est une erreur de comparaison.
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Le plus grand côté est . On trouve et . Comme , le triangle n'est pas rectangle. Répondre « oui en » revient à accepter deux nombres proches, et : une égalité doit être exacte, pas approchée. Comparer et est une erreur : on additionne les longueurs au lieu d'additionner leurs carrés.
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On calcule et , donc . Or . Il y a égalité : le triangle est rectangle en . L'erreur tentante est de calculer , qui est le carré de la somme et non la somme des carrés.
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C'est exactement son rôle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle. Répondre « faux » revient à croire qu'elle ne sert qu'à calculer des longueurs, ce qui est le rôle du théorème direct.
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C'est faux en général. Exemple : « si un nombre est multiple de 4, alors il est pair » est vrai, mais sa réciproque « si un nombre est pair, alors il est multiple de 4 » est fausse, car 6 est pair sans être multiple de 4. Le programme demande justement de mener un travail de logique sur la réciproque 1. Celle de Pythagore se trouve vraie, mais cela se démontre, cela ne va pas de soi.
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L'hypoténuse d'un triangle rectangle est son plus grand côté. On teste donc si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres. Choisir un autre côté donne une égalité fausse même pour un triangle rectangle : avec , et , on a .
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Pour ; ; : . Pour ; ; : . Pour ; ; : alors que . Pour ; ; : alors que . Les deux derniers triplets ressemblent à des suites régulières, mais l'égalité n'est pas vérifiée.
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L'angle droit est donné et on cherche une longueur : on utilise le théorème direct, , donc cm. La réciproque, elle, servirait si l'on voulait prouver l'angle droit à partir de trois longueurs déjà connues. Ici une seule longueur est inconnue : il n'y a rien à prouver sur l'angle.
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La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion de l'énoncé direct. La première phrase est le théorème direct lui-même, pas sa réciproque. Les deux autres phrases ne sont pas des énoncés de ce chapitre et elles sont fausses : un triangle peut ne pas être rectangle et avoir deux côtés égaux, et un triangle isocèle n'est pas forcément rectangle.
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On compare et . Les deux nombres sont différents, donc le triangle n'est pas rectangle. Des longueurs entières ne suffisent pas : beaucoup de triangles ont des côtés entiers sans angle droit. On peut bien conclure, puisque le calcul donne une réponse nette.
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En géométrie, une figure ne prouve rien : un angle peut sembler droit alors qu'il mesure 89° ou 91°. Seul le calcul exact donne une preuve. Une mesure au rapporteur reste approximative, donc elle ne démontre pas non plus l'angle droit.
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On calcule et , soit une somme de . Comme , l'égalité est vérifiée : le triangle est rectangle. L'erreur fréquente est de calculer comme ou au lieu de , en oubliant qu'on multiplie le nombre par lui-même.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème direct part d'un triangle rectangle connu et sert à calculer une longueur. La réciproque part des trois longueurs et sert à prouver qu'un triangle est rectangle. Les deux figurent au programme de 4e 2. Avant de calculer, demande-toi : l'angle droit est-il donné, ou est-ce lui que je dois démontrer ?
Que faire si les deux nombres sont presque égaux ?
Une égalité doit être exacte. Si tu trouves d'un côté et de l'autre, le triangle n'est pas rectangle, même si l'écart semble petit. Vérifie quand même tes calculs avant de conclure : une erreur de carré est vite arrivée. Pense aussi à rédiger la conclusion complète, avec la comparaison écrite sous forme de deux calculs distincts.
Sources
Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale
- Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
- 4e Mathématiques ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
- Bijection réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
- Fonction circulaire réciproque, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
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