Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre non nul, le coefficient de proportionnalité.
Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur (rapport 21). Plus généralement, une parallèle à un côté découpe un petit triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du grand (théorème de Thalès).
Les trois milieux des côtés forment un triangle dont les côtés valent la moitié de ceux du triangle de départ.
Deux triangles qui ont les mêmes angles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels, avec un rapport k.
Quand les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k2.
Introduction : pourquoi parler de proportionnalité dans un triangle ?
Tu connais déjà la droite des milieux : elle passe par les milieux de deux côtés d'un triangle. Ici, on regarde ce qu'elle t'apprend sur les longueurs. Une longueur se déduit vite d'une autre quand un nombre fixe les relie.
D'après le programme du cycle 4, cette droite sert à démontrer un parallélisme ou à trouver une longueur 1. La proportionnalité se retrouve aussi en géométrie, notamment avec les triangles semblables 4.
Rappel : ce que veut dire « proportionnel »
Pourquoi ce rappel ? Parce que dans un triangle, on ne parle pas de prix ni de masses, mais de longueurs. Si une longueur est toujours multipliée par le même nombre, on est dans le même cas. On utilise la même idée : un multiplicateur fixe.
La droite des milieux et le rapport 1/2
Droite des milieux dans un triangle · M et N sont les milieux de [AB] et [AC] : MN vaut la moitié de BC.
Le triangle formé par les trois milieux
On peut aussi contrôler le résultat avec une règle : dans un triangle, chaque côté est inférieur ou égal à la somme des deux autres 5. C'est l'inégalité triangulaire. Avec 3 cm, 4 cm et 5 cm, on a bien 5≤3+4. Les longueurs trouvées sont donc cohérentes.
Triangles aux mêmes angles : les triangles semblables
Longueurs et aires : attention au carré
Méthode complète et erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Longueur d'un segment des milieux
★☆☆Environ 5 min
Dans un triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On donne BC=14 cm. Calcule la longueur MN.
Indice 1
Repère le côté du triangle qui n'est pas coupé par les milieux.
Voir la correction pas à pas
Les points M et N sont les milieux de [AB] et [AC] : on applique la droite des milieux.
Le segment [MN] correspond au côté [BC] : MN=21×BC.
On calcule : MN=21×14=7 cm.
On trouve MN=7 cm, et (MN) est parallèle à (BC).
Exercice 2 Périmètre du triangle médian
★★☆Environ 8 min
Un triangle ABC a pour côtés AB=12 cm, BC=14 cm et AC=10 cm. On note M, N et P les milieux de [AB], [AC] et [BC]. Calcule le périmètre du triangle MNP.
Indice 1
Chaque côté de MNP est la moitié d'un côté de ABC.
Indice 2
Tu peux calculer le périmètre de ABC d'abord.
Voir la correction pas à pas
Le périmètre de ABC vaut 12+14+10=36 cm.
MNP est le triangle médian de ABC : chacun de ses côtés vaut la moitié du côté correspondant.
Ses côtés mesurent donc 7 cm, 6 cm et 5 cm.
Son périmètre vaut 7+6+5=18 cm, soit 21×36.
Le périmètre de MNP est 18 cm, la moitié de celui de ABC.
Exercice 3 Triangles semblables et aire
★★★Environ 10 min
Le triangle ABC a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le triangle A′B′C′ a les mêmes angles, et son plus petit côté mesure 4,5 cm. On sait que 3² + 4² = 5², donc ABC est rectangle et son aire vaut 6 cm². Calcule l'aire du triangle A′B′C′.
Indice 1
Commence par calculer le rapport k entre les plus petits côtés.
Indice 2
Les aires sont multipliées par k2.
Voir la correction pas à pas
Les deux triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables.
Les plus petits côtés se correspondent : k=34,5=1,5.
Les aires sont multipliées par k2=1,52=2,25.
L'aire de A′B′C′ vaut 6×2,25=13,5 cm².
L'aire de A′B′C′ est 13,5 cm². Elle n'est pas 6×1,5=9 : il faut bien le carré du rapport.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le segment qui joint les milieux de [AB] et [AC] est parallèle au troisième côté, [BC], et en vaut la moitié. Comparer avec AB est l'erreur tentante : [AB] porte le milieu M, ce n'est pas le côté opposé.
MN=21×18=9 cm. Doubler 18 pour trouver 36 est l'erreur tentante : on prend la moitié du troisième côté pour obtenir le segment des milieux.
Les côtés du triangle médian valent la moitié de ceux du triangle initial 5. Le rapport 41 est celui des aires, pas celui des longueurs.
Les aires sont multipliées par k2=32=9. Choisir 3 revient à oublier le carré : seules les longueurs sont multipliées par k.
Tous les côtés sont multipliés par 21, donc le périmètre aussi : 30×21=15 cm. Le quart de 30, soit 7,5 cm, est l'erreur tentante : le facteur 41 ne concerne que les aires.
C'est faux. Des triangles aux mêmes angles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels, avec un rapport k qui peut être différent de 1 5. Ils ne sont superposables que si k=1.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la droite des milieux ?
Cherche, dans l'énoncé ou sur la figure, deux milieux situés sur deux côtés différents du même triangle. Si tu les trouves, le segment qui les joint est parallèle au troisième côté et en vaut la moitié 5. Si l'un des points n'est pas un milieu, on ne peut pas appliquer ce théorème.
Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et pas par k ?
Une aire se calcule avec deux longueurs, par exemple une base et une hauteur. Si chacune est multipliée par k, le produit est multiplié par k×k=k2. Les aires de deux triangles semblables sont bien reliées par ce facteur k25.
Qu'est-ce qu'un coefficient de proportionnalité ?
C'est le nombre fixe, différent de zéro, par lequel on multiplie chaque terme d'une suite pour obtenir l'autre 4. Pour les pommes à 2 euros le kilogramme, c'est 2 4. Dans les triangles semblables, ce coefficient est le rapport k entre les longueurs 4.
Comment vérifier que mon résultat est possible ?
Contrôle l'inégalité triangulaire : chaque côté doit être inférieur ou égal à la somme des deux autres 5. Vérifie aussi le sens : si k>1, les longueurs doivent grandir ; si k<1, elles doivent diminuer.