Proportionnalité dans le triangle : exercices corrigés de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième et mesure sa moitié ⁵.
Deux triangles qui ont les mêmes angles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels, avec un même coefficient k ⁵.
Si les longueurs sont multipliées par k, l'aire est multipliée par k² ⁵.
Dans un triangle, chaque côté est inférieur ou égal à la somme des deux autres ⁵.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord par toi-même, sur ton cahier, avant d'ouvrir un indice. Lis la correction ensuite, étape par étape, pour comparer ta méthode à la nôtre.

Rappels avant de t'entraîner

Avant de te lancer, relis calmement les idées de ce chapitre. Quand tu joins les milieux de deux côtés d'un triangle, tu obtiens un segment parallèle au troisième côté, et sa longueur vaut la moitié de la sienne ⁵. Si tu joins les trois milieux, tu fabriques un petit triangle dont chaque côté est deux fois plus court que son côté parallèle dans le grand triangle ⁵. Ce petit triangle est donc une réduction du grand, de rapport $\frac{1}{2}$ .

Les exercices

Exercice 1 Le segment des milieux

★☆☆Environ 5 min

Dans un triangle $ABC$ , le point $I$ est le milieu de $[AB]$ et le point $J$ est le milieu de $[AC]$ . On sait que $BC = 14$ cm. Calcule la longueur $IJ$ .

Indice 1

Quel théorème relie le segment $[IJ]$ au côté $[BC]$ ?

Voir la correction pas à pas

$I$ et $J$ sont les milieux de deux côtés du triangle $ABC$ , donc on utilise la droite des milieux.
Le segment $[IJ]$ mesure la moitié de $[BC]$ ⁵.
$IJ = \frac{14}{2} = 7$ cm.

On a $IJ = 7$ cm, et $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ .

Exercice 2 Périmètre du triangle des milieux

★☆☆Environ 7 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 8$ cm, $BC = 10$ cm et $CA = 12$ cm. On joint les milieux des trois côtés pour former un petit triangle. Quel est son périmètre ?

Indice 1

Chaque côté du petit triangle est la moitié d'un côté du grand.

Voir la correction pas à pas

Chaque côté du petit triangle joint deux milieux, donc il vaut la moitié du côté du grand triangle qui lui est parallèle ⁵.
Les côtés du petit triangle mesurent donc $4$ cm, $5$ cm et $6$ cm.
Périmètre : $4 + 5 + 6 = 15$ cm.

Le périmètre est de 15 cm, soit la moitié de celui de $ABC$ (30 cm).

Exercice 3 Reconnaître une possibilité de triangle

★☆☆Environ 6 min

Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 7 cm et 13 cm ? Même question avec 5 cm, 7 cm et 12 cm (triangle non aplati).

Indice 1

Compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

Voir la correction pas à pas

Dans un triangle, chaque côté est inférieur ou égal à la somme des deux autres ⁵.
Premier cas : $5 + 7 = 12$ et $13 > 12$ . Le grand côté dépasse la somme des deux autres : impossible.
Second cas : $5 + 7 = 12$ , égalité. Les trois points seraient alignés : le triangle serait aplati, donc on ne peut pas le construire comme vrai triangle.

Aucun des deux ne donne un vrai triangle. Pour un triangle non aplati, il faut que le plus grand côté soit strictement plus petit que la somme des deux autres.

Exercice 4 Deux triangles semblables

★★☆Environ 10 min

Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont les mêmes angles. On a $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 8$ cm et $A'B' = 10$ cm. Calcule le périmètre de $A'B'C'$ .

Indice 1

Calcule d'abord le coefficient $k$ entre $A'B'$ et $AB$ .

Indice 2

Le périmètre est multiplié par le même coefficient que les côtés.

Voir la correction pas à pas

Les triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables, leurs côtés sont proportionnels avec un même coefficient $k$ ⁵.
$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{10}{4} = 2{,}5$ .
On obtient $B'C' = 2{,}5 \times 6 = 15$ cm et $C'A' = 2{,}5 \times 8 = 20$ cm.
Périmètre : $10 + 15 + 20 = 45$ cm.

Le périmètre de $A'B'C'$ est 45 cm. Vérification : $2{,}5 \times 18 = 45$ .

Exercice 5 Une équation avec la droite des milieux

★★☆Environ 12 min

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$ . On donne $IJ = 2x + 1$ et $BC = 6x - 4$ (en cm). Trouve $x$ , puis calcule $BC$ .

Indice 1

Écris que $IJ$ est la moitié de $BC$ .

Indice 2

Multiplie l'équation par 2 pour supprimer la fraction, ou développe $\frac{6x-4}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

Les points $I$ et $J$ sont des milieux, donc $IJ = \frac{BC}{2}$ ⁵.
On écrit $2x + 1 = \frac{6x - 4}{2} = 3x - 2$ .
On résout : $1 + 2 = 3x - 2x$ , donc $x = 3$ .
$BC = 6 \times 3 - 4 = 14$ cm. Contrôle : $IJ = 2 \times 3 + 1 = 7$ cm, et $7 = \frac{14}{2}$ .

On trouve $x = 3$ et $BC = 14$ cm.

Exercice 6 Milieux et triangle rectangle

★★☆Environ 12 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$ . Calcule $IJ$ .

Indice 1

Cherche d'abord $BC$ avec l'égalité de Pythagore.

Indice 2

Utilise ensuite la droite des milieux.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $A$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ¹.
$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ , donc $BC = 10$ cm.
$I$ et $J$ sont des milieux, donc $IJ = \frac{BC}{2}$ ⁵.
$IJ = \frac{10}{2} = 5$ cm.

On a $IJ = 5$ cm.

Exercice 7 Du petit au grand triangle

★★★Environ 15 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm, avec un angle droit entre les côtés de 5 et 12 cm. Un triangle semblable $A'B'C'$ a son plus petit côté égal à $15$ cm. Calcule l'aire de $A'B'C'$ .

Indice 1

Calcule l'aire de $ABC$ avec les deux côtés de l'angle droit.

Indice 2

Quel coefficient multiplie les aires quand les longueurs sont multipliées par $k$ ?

Voir la correction pas à pas

Aire de $ABC$ : $\frac{5 \times 12}{2} = 30$ cm², car les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur.
Coefficient : $k = \frac{15}{5} = 3$ , puisque les côtés des triangles semblables sont proportionnels ⁵.
Les aires sont reliées par le facteur $k^2$ ⁵, donc $k^2 = 9$ .
Aire de $A'B'C'$ : $30 \times 9 = 270$ cm².

L'aire de $A'B'C'$ est 270 cm². Piège évité : multiplier par 3 donnerait 90 cm², ce qui est faux.

Exercice 8 Retrouver le coefficient grâce à l'aire

★★★Environ 15 min

Deux triangles semblables ont des aires de $12$ cm² et $108$ cm². Quel est le coefficient $k$ qui permet de passer des longueurs du petit triangle à celles du grand ? Si un côté du petit mesure 4 cm, que mesure le côté correspondant du grand ?

Indice 1

Les aires sont reliées par $k^2$ .

Indice 2

Cherche un nombre positif dont le carré vaut le quotient des aires.

Voir la correction pas à pas

Les aires sont reliées par le facteur $k^2$ ⁵.
$k^2 = \frac{108}{12} = 9$ .
$k$ est positif, donc $k = 3$ .
Le côté correspondant mesure $3 \times 4 = 12$ cm.

Le coefficient est $k = 3$ et le côté du grand triangle mesure 12 cm.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut multiplier par k ou par k² ?

Regarde ce que tu calcules. Une longueur (côté, périmètre) se multiplie par $k$ . Une aire se multiplie par $k^2$ ⁵. Un petit schéma avec les unités (cm ou cm²) t'aide à ne pas te tromper.

Quand peut-on dire que deux triangles sont semblables ?

Quand ils ont les mêmes mesures d'angles ⁵. Leurs côtés sont alors proportionnels avec un même coefficient. Attention : il faut associer les côtés qui se correspondent, le plus petit avec le plus petit, le plus grand avec le plus grand.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Géométrie plane – Cycle 4, Académie de Montpellier. Consulté le 12 novembre 2026.
Proportionnalité, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
Triangle, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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Exercice 1 Le segment des milieux

Exercice 2 Périmètre du triangle des milieux

Exercice 3 Reconnaître une possibilité de triangle

Exercice 4 Deux triangles semblables

Exercice 5 Une équation avec la droite des milieux

Exercice 6 Milieux et triangle rectangle

Exercice 7 Du petit au grand triangle

Exercice 8 Retrouver le coefficient grâce à l'aire

Les questions qu'on se pose

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