Appliquer un taux : VA=VD×c ; retrouver la valeur de départ : VD=VA÷c.
Évolutions successives : on multiplie les coefficients, on n'additionne jamais les taux.
Évolution réciproque : coefficient c1 ; une hausse de 25 % se compense par une baisse de 20 %, pas de 25 %.
Indice base 100 : on compare une valeur à une valeur de référence ramenée à 100.
Introduction : pourquoi les pourcentages sont partout
Soldes, hausse des loyers, évolution d'une population, taux de réussite à un examen : on rencontre des pourcentages chaque jour. Le programme de la classe de première technologique demande de savoir calculer un taux d'évolution et l'exprimer en pourcentage, d'appliquer un taux pour trouver une valeur finale ou initiale, d'interpréter un indice de base 100 et de calculer le taux équivalent à plusieurs évolutions successives.1
Ce cours reprend ces capacités dans l'ordre. Tu as déjà vu les fractions et le calcul numérique : c'est tout ce qu'il faut pour commencer. Chaque notion est suivie d'un exemple rédigé, puis d'un piège classique. À la fin, des exercices corrigés et un quiz te permettent de vérifier que tout est en place.
Qu'est-ce qu'un pourcentage ?
Un pourcentage est donc un nombre sans unité. On le fait suivre du signe « % » pour rappeler d'où il vient : il se lit « pour cent ».4 Un rapport de 0,052 correspond ainsi à 5,2 %.4
Retiens les passages dans les deux sens :
de pourcentage à nombre décimal : on divise par 100, donc 35%=0,35 ;
de nombre décimal à pourcentage : on multiplie par 100, donc 0,08=8% ;
de fraction à pourcentage : 43=0,75=75%.
Calculer un pourcentage d'une quantité
Le taux d'évolution
Le numérateur VA−VD est la variation absolue : ce que la grandeur a gagné ou perdu. On la divise par VD pour la comparer à la valeur de départ. Le résultat dit si l'évolution est importante par rapport à ce qu'on avait au début.
Si t>0, c'est une hausse.
Si t<0, c'est une baisse.
Si t=0, la grandeur est stable.
Le coefficient multiplicateur
Démonstration · Pourquoi $c = 1 + t$
On part de t=VDVA−VD=VDVA−1. En ajoutant 1 aux deux membres, on obtient 1+t=VDVA=c. On en tire aussi VA=VD×c.
Du taux au coefficient multiplicateur
Évolution
Taux $t$
Coefficient $c = 1+t$
Hausse de 8 %
+0,08
1,08
Hausse de 50 %
+0,50
1,5
Baisse de 30 %
−0,30
0,70
Baisse de 5 %
−0,05
0,95
Du taux au coefficient multiplicateur · Le coefficient est supérieur à 1 pour une hausse, inférieur à 1 pour une baisse.
Évolutions successives
Démonstration · Pourquoi on multiplie
Après la première évolution, la valeur devient V1=VD×c1. La seconde évolution s'applique à V1 : V2=V1×c2=VD×c1×c2. Le coefficient qui mène directement de VD à V2 est donc c1c2.
Pour deux évolutions faibles, la somme des taux donne une bonne approximation du taux global.5 Avec +1 % puis +2 %, on obtient 1,01×1,02=1,0302, soit 3,02 %, très proche de 3 %. Mais cette approximation devient mauvaise dès que les taux sont grands : avec +50 % puis +50 %, le coefficient est 2,25, soit +125 % et non +100 %.
Évolution réciproque
Pour une évolution faible, le taux réciproque est proche de l'opposé du taux direct.5 Par exemple, +2 % se compense par 1,021−1≈−1,96%, tout près de −2 %. Pour une forte évolution, l'écart devient net : l'opposé de +25 % serait −25 %, alors que la vraie réciproque est −20 %.
Indice de base 100
Méthode générale et pièges à éviter
RepérerTrouver la valeur de référence.
CoefficientÉcrire c = 1 + t.
CalculerMultiplier ou diviser par c.
EnchaînerMultiplier les coefficients.
VérifierLe sens hausse ou baisse est-il cohérent ?
Résoudre un problème de pourcentage · La méthode s'applique à tous les exercices du chapitre.
Exercices corrigés
Exercice 1 Un prix en solde
★☆☆Environ 5 min
Un manteau coûte 120 € avant les soldes. Son prix baisse de 15 %. Quel est le prix soldé ?
Indice 1
Une baisse de 15 % correspond à un coefficient de 1−0,15.
Voir la correction pas à pas
Le coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 % est c=1−0,15=0,85.
Le prix soldé est 120×0,85=102 €.
Le manteau coûte 102 € après la baisse de 15 %.
Exercice 2 Calculer un taux d'évolution
★★☆Environ 6 min
Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de 640 à 800. Calcule le taux d'évolution en pourcentage.
Indice 1
Divise la variation par la valeur de départ, pas par celle d'arrivée.
Voir la correction pas à pas
La valeur de départ est VD=640 et la valeur d'arrivée VA=800.
La variation est 800−640=160.
Le taux est t=640160=0,25.
On l'exprime en pourcentage : 25 %.
Le nombre d'abonnés a augmenté de 25 %.
Exercice 3 Retrouver la valeur initiale
★★★Environ 8 min
Après une hausse de 20 %, un stock atteint 180 unités. Quel était le stock avant la hausse ? Quelle baisse en pourcentage ramènerait le stock à sa valeur initiale ?
Indice 1
On divise par le coefficient, on ne retranche pas 20 %.
Indice 2
Le coefficient de l'évolution réciproque est l'inverse du coefficient de départ.
Voir la correction pas à pas
Le coefficient de la hausse est c=1,2.
Le stock initial vaut VD=1,2180=150 unités.
L'évolution réciproque a pour coefficient 1,21=65≈0,833.
Le taux réciproque est 65−1≈−0,167 : une baisse d'environ 16,7 %.
Le stock initial était de 150 unités ; il faudrait une baisse d'environ 16,7 % pour y revenir (et non 20 %).
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un pourcentage x% est égal à 100x, donc 35%=0,35.4 3,5 correspond à une division par 10 seulement, et 0,035 à une division par 1 000.
On divise la variation par la valeur de départ : 5060−50=0,2, soit 20 %. Diviser par 60 donnerait 16,7 %, erreur typique : le dénominateur est la valeur de départ.
Pour une baisse de p%, c=1−100p=0,70. 0,30 serait la part retirée, et 1,30 correspond à une hausse de 30 %.
Le coefficient global est 1,2×0,8=0,96, soit −4 %. Penser que les taux s'annulent est faux : le second s'applique à une valeur déjà modifiée.
On divise par le coefficient : 1,1256=50. Retrancher 12 % de 56 donnerait 49,28, valeur fausse car les 12 % portaient sur le prix initial.
Le coefficient réciproque de 1,25 est 1,251=0,8 : il faut une baisse de 20 %. L'opposé du taux n'est une bonne approximation que pour de faibles évolutions.5
Le taux se calcule à partir du quotient : 120135−120=0,125. La soustraction brute des indices donne 15 points, pas 15 %, et 35 % ne vaut que par rapport à la base 100.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un pourcentage et un taux d'évolution ?
Un pourcentage exprime une part d'un tout ou d'une référence, sous forme de fraction de dénominateur 100.4 Un taux d'évolution mesure la variation d'une grandeur entre deux dates, et on l'exprime en pourcentage.5 Le premier compare une partie à un ensemble ; le second compare une valeur d'arrivée à une valeur de départ.
Pourquoi ne peut-on pas additionner les pourcentages de deux évolutions successives ?
Parce que chaque taux se calcule par rapport à une valeur de référence différente : la seconde évolution s'applique à la valeur obtenue après la première. On multiplie donc les coefficients. L'addition ne donne qu'une approximation, valable pour de petits taux.5
Comment savoir s'il faut multiplier ou diviser par le coefficient ?
Si tu connais la valeur de départ et cherches l'arrivée, tu multiplies par c. Si tu connais la valeur d'arrivée et cherches la valeur de départ, tu divises par c. Test rapide : après une hausse, la valeur initiale est plus petite que la finale ; ton résultat doit le respecter.
Peut-on avoir un taux supérieur à 100 % ?
Oui. Quand on compare une valeur à une valeur de référence, le pourcentage peut dépasser 100 %.4 Un taux d'évolution de 150 % signifie que la grandeur a été multipliée par 2,5. En revanche, une baisse ne peut pas dépasser 100 % pour une grandeur positive : −100 % donne zéro.
À quoi sert un indice de base 100 ?
Il permet de suivre l'évolution d'une grandeur par rapport à une date de référence : l'écart entre l'indice et 100 donne directement le taux d'évolution depuis la base, en pourcentage.1 Un indice de 108 signifie une valeur supérieure de 8 % à celle de la base.