Signe de f′ et sens de variation sont liés : f′>0 sur un intervalle, f croît ; f′<0, f décroît.1
Méthode type : dériver, factoriser f′, étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Du nombre dérivé à la fonction dérivée
Dans le chapitre précédent, tu as calculé des nombres dérivés : pour une fonction f et une valeur a, le nombre f′(a) est le nombre dont se rapproche le taux de variation hf(a+h)−f(a) quand h devient très proche de 0. Il mesure la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Problème pratique : refaire ce calcul pour chaque valeur de a serait long. L'idée de ce chapitre est de faire le calcul une seule fois, avec a quelconque. On obtient alors une formule qui donne directement le nombre dérivé en n'importe quel point. Cette formule définit une nouvelle fonction : la fonction dérivée.
Le programme présente la dérivation comme un concept mathématique qui traduit une évolution instantanée.4 Une situation classique : la courbe de croissance d'un enfant. Le nombre dérivé donne la vitesse à laquelle la grandeur change à un instant précis, et son signe dit si elle augmente ou diminue.5 La fonction dérivée rassemble toutes ces vitesses instantanées en une seule fonction.
À quoi sert-elle ? Le programme le dit clairement : la dérivée devient l'outil efficace pour étudier les variations d'une fonction.4 C'est l'objectif final du chapitre : lire le signe de f′ pour savoir où f monte et où f descend, sans tracer la courbe point par point.
Les dérivées de x², de x³ et des cas simples
Le programme de Première technologique retient deux fonctions de référence à dériver : x↦x2 et x↦x3.1 Voyons d'où viennent leurs dérivées, car comprendre le calcul aide à ne pas l'oublier.
Démonstration · Pourquoi $(x^2)'=2x$ ?
Prenons f(x)=x2 et un réel a. Le taux de variation entre a et a+h (avec h=0) vaut :
h(a+h)2−a2=ha2+2ah+h2−a2=h2ah+h2=2a+h.
Quand h se rapproche de 0, 2a+h se rapproche de 2a. Donc f′(a)=2a, et ceci pour tout a : la fonction dérivée est x↦2x.
Démonstration · Pourquoi $(x^3)'=3x^2$ ?
Avec f(x)=x3, on développe (a+h)3=a3+3a2h+3ah2+h3. Le taux de variation vaut donc :
h(a+h)3−a3=h3a2h+3ah2+h3=3a2+3ah+h2.
Quand h se rapproche de 0, les termes 3ah et h2 disparaissent et il reste 3a2. Donc f′(a)=3a2.
Démonstration · Constante et fonction $x\mapsto x$
Pour une constante c, f(a+h)−f(a)=c−c=0, donc le taux de variation vaut 0 pour tout h : la dérivée est 0. Pour f(x)=x, le taux vaut h(a+h)−a=hh=1 : la dérivée est 1. Cela se lit sur la courbe : une droite horizontale a une pente nulle, la droite d'équation y=x a une pente de 1.
Dériver un polynôme de degré inférieur ou égal à trois
Au programme figure aussi le calcul de la dérivée d'un polynôme de degré 3 au plus.1 Un tel polynôme s'écrit f(x)=ax3+bx2+cx+d, avec a, b, c, d réels. Pas besoin de méthode compliquée : on dérive chaque terme l'un après l'autre, grâce à deux règles de calcul.
Démonstration · Pourquoi ces règles fonctionnent
Le taux de variation d'une somme est la somme des taux de variation, car h(f+g)(a+h)−(f+g)(a)=hf(a+h)−f(a)+hg(a+h)−g(a). De même, factoriser k dans le numérateur de hkf(a+h)−kf(a) montre qu'il ressort devant le taux de f. En se rapprochant de h=0, chaque morceau garde sa propriété.
Équation de la tangente avec la fonction dérivée
Le programme inclut l'équation réduite de la tangente en un point.1 Tu l'as rencontrée avec les nombres dérivés ; la fonction dérivée la rend rapide à écrire, car f′(a) se calcule en une ligne.
Signe de la dérivée et sens de variation
C'est le cœur du chapitre. Le nombre dérivé est la pente de la tangente : une pente positive signifie que la courbe monte, une pente négative qu'elle descend. Les situations de croissance d'un enfant le montrent bien : sur un intervalle où la courbe baisse, le nombre dérivé est négatif.5 Cette observation se généralise.
Méthode d'examen et erreurs à éviter
Dans les exercices de l'épreuve anticipée de mathématiques, la dérivation sert à étudier une fonction modélisant une situation : un coût, une quantité, une hauteur, une concentration. On te demande souvent trois choses dans cet ordre : calculer f′(x), étudier son signe, puis conclure sur la situation (quand la grandeur est-elle la plus grande ou la plus petite ?). Les variations et les extremums seront approfondis dans le chapitre suivant.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer une dérivée et un nombre dérivé
★☆☆Environ 6 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x3−3x2+5x−1.
Calcule f′(x).
Calcule le nombre dérivé f′(2).
Indice 1
Dérive chaque terme séparément ; la constante disparaît.
Indice 2
Remplace x par 2 dans f′, pas dans f.
Voir la correction pas à pas
Terme par terme : 2x3→6x2, −3x2→−6x, 5x→5, −1→0.
On additionne : f′(x)=6x2−6x+5.
On remplace x par 2 : f′(2)=6×4−6×2+5=24−12+5.
Donc f′(2)=17.
Le nombre dérivé en 2 vaut 17 : la tangente en x=2 a une pente de 17, la courbe monte très fortement à cet endroit.
Exercice 2 Déterminer une équation de tangente
★★☆Environ 10 min
Soit f(x)=x3−2x2+4 définie sur R. On note T la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
Calcule f(1) et f′(1).
Donne l'équation réduite de T.
Quelle est l'ordonnée du point où T coupe l'axe des ordonnées ?
Indice 1
Utilise y=f′(1)(x−1)+f(1).
Indice 2
L'ordonnée à l'origine s'obtient en posant x=0 dans l'équation réduite.
Voir la correction pas à pas
f(1)=1−2+4=3.
f′(x)=3x2−4x, donc f′(1)=3−4=−1.
y=−1×(x−1)+3=−x+1+3=−x+4.
T coupe l'axe des ordonnées en x=0 : y=−0+4=4.
La tangente a pour équation y=−x+4 et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 4.
Exercice 3 Étudier les variations d'une fonction
★★★Environ 12 min
Soit f(x)=x3−3x2 définie sur R.
Calcule f′(x) et factorise-la.
Étudie le signe de f′(x).
Dresse le tableau de variations de f en indiquant f(0) et f(2).
Indice 1
Factorise f′(x) en mettant 3x en facteur.
Indice 2
Le trinôme est négatif entre ses racines.
Voir la correction pas à pas
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2).
f′ s'annule en x=0 et x=2 ; le coefficient de x2 est positif, donc f′ est positive pour x<0, négative pour 0<x<2, positive pour x>2.
f est donc croissante sur ]−∞;0], décroissante sur [0;2], croissante sur [2;+∞[.
On calcule f(0)=0 et f(2)=8−12=−4.
La courbe monte jusqu'au point de coordonnées (0;0), descend jusqu'à (2;−4), puis remonte indéfiniment.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'exposant 3 passe devant et l'exposant diminue de 1 : 3x2.13x oublie que x2 reste présent, x2 oublie le facteur 3, et 4x4 est la démarche inverse, qui ne sert pas pour dériver.
On a f′(x)=12x2−2x, la constante 7 disparaissant. Donc f′(1)=12−2=10. Si tu trouves 17, tu as gardé la constante 7 dans la dérivée, ce qui est faux.
C'est faux : une dérivée négative correspond à des tangentes qui descendent, donc f est décroissante sur I.1 La croissance correspond à une dérivée positive.
On a f(3)=9 et f′(3)=6, donc y=6(x−3)+9=6x−9.1y=6x+9 vient d'une erreur de signe au développement ; y=2x−3 confond f′(x)=2x avec le nombre dérivé ; y=9x−6 inverse la pente et l'ordonnée.
Entre les racines −2 et 2, le trinôme −3(x−2)(x+2) est positif (par exemple f′(0)=12>0), donc f est croissante.1 Le coefficient −3 est négatif mais c'est justement ce qui rend le trinôme positif entre les racines. Hors de [−2;2], f′ est négative, ce qui exclut « croissante sur R ».
5x2→10x, −2x→−2, 3→0 : on obtient 10x−2. La version avec +3 garde la constante à tort, 5x−2 oublie le facteur 2 de x2, et 10x+3 oublie le terme −2 et garde la constante.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?
Le nombre dérivéf′(a) est un nombre : la pente de la tangente au point d'abscisse a. La fonction dérivéef′ est une fonction qui donne ce nombre pour chaque x de l'intervalle.5 Pour obtenir f′(a), tu calcules d'abord f′(x) puis tu remplaces x par a.
Dois-je connaître les dérivées d'autres fonctions que les polynômes ?
En Première technologique, les fonctions de référence à dériver sont x↦x2 et x↦x3, et le calcul porte sur des polynômes de degré inférieur ou égal à trois.1 Les autres dérivées (racine, inverse, exponentielle) ne font pas partie de ce chapitre.
Comment savoir si je dois étudier le signe de $f$ ou celui de $f'$ ?
Pour les variations, tu étudies toujours le signe de f′ : il indique si f monte ou descend.1 Le signe de f renseigne seulement sur la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Une fonction peut être négative et croissante à la fois.
Pourquoi la dérivée d'une constante vaut-elle $0$ ?
Une constante ne varie pas : son taux de variation entre deux points est hc−c=0. Graphiquement, c'est une droite horizontale, de pente nulle. C'est pourquoi le terme constant d'un polynôme disparaît quand on dérive.