Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonction dérivée : exercices corrigés de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour dériver un polynôme de degré 3 au plus, on dérive terme par terme : $x^2$ donne $2x$ , $x^3$ donne $3x^2$ ¹, $ax$ donne $a$ , une constante donne $0$ .
La tangente en $a$ a pour équation réduite $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ ¹.
Le signe de $f'$ renseigne sur le sens de variation de $f$ : $f'>0$ sur un intervalle, $f$ croît ; $f'<0$ , $f$ décroît ¹.
Méthode type : dériver, étudier le signe de $f'$ , dresser le tableau, calculer les valeurs aux bornes et aux points où $f'$ s'annule.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent l'ordre habituel d'un chapitre sur la dérivation. D'abord tu calcules des dérivées, ensuite tu écris une tangente, puis tu relies le signe de la dérivée aux variations. Les derniers exercices mélangent ces gestes. Cherche chaque énoncé sur papier avant de regarder les indices, puis compare ta solution avec la correction détaillée.

En première technologique, tu dois connaître les dérivées de $x \mapsto x^2$ et de $x \mapsto x^3$ . Tu dois aussi savoir dériver un polynôme dont le degré ne dépasse pas trois, écrire l'équation réduite d'une tangente en un point, et utiliser le signe de la dérivée pour trouver les variations ¹. Les exercices ci-dessous travaillent ces compétences.

Les exercices

Exercice 1 Dériver un polynôme du second degré

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5x+2$ .

Calcule $f'(x)$ .
Calcule le nombre dérivé $f'(2)$ .

Indice 1

Dérive chaque terme séparément : $3x^2$ , puis $-5x$ , puis la constante $2$ .

Indice 2

Pour $f'(2)$ , remplace $x$ par $2$ dans l'expression de $f'(x)$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive $3x^2$ : le coefficient $3$ reste et $x^2$ donne $2x$ , soit $6x$ .
On dérive $-5x$ : on obtient $-5$ . La constante $2$ a pour dérivée $0$ .
On additionne : $f'(x)=6x-5$ .
On remplace $x$ par $2$ : $f'(2)=6\times 2-5=12-5=7$ .

Donc $f'(x)=6x-5$ et $f'(2)=7$ . La tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ a donc pour pente $7$ .

Exercice 2 Dériver un polynôme du troisième degré

★☆☆Environ 6 min

Soit $g(x)=x^3-4x^2+x-7$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Détermine $g'(x)$ .
Calcule $g'(-1)$ .

Indice 1

La dérivée de $x^3$ est $3x^2$ ; celle de $-4x^2$ est $-4\times 2x$ .

Indice 2

Attention aux signes quand tu remplaces $x$ par $-1$ : $(-1)^2=1$ .

Voir la correction pas à pas

$x^3$ a pour dérivée $3x^2$ .
$-4x^2$ a pour dérivée $-4\times 2x=-8x$ .
$x$ a pour dérivée $1$ et la constante $-7$ a pour dérivée $0$ .
Donc $g'(x)=3x^2-8x+1$ .
On calcule : $g'(-1)=3\times 1-8\times(-1)+1=3+8+1=12$ .

On trouve $g'(x)=3x^2-8x+1$ et $g'(-1)=12$ . Le signe négatif de $-1$ transforme $-8x$ en $+8$ : c'est le piège du calcul.

Exercice 3 Où la dérivée s'annule-t-elle ?

★☆☆Environ 8 min

Soit $h(x)=-2x^3+6x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $h'(x)$ et factorise-la.
Résous $h'(x)=0$ : donne la plus grande solution.

Indice 1

Une fois $h'$ calculée, cherche un facteur commun à tous ses termes.

Indice 2

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $-2x^3$ donne $-6x^2$ , $6x^2$ donne $12x$ , la constante $-1$ donne $0$ .
On obtient $h'(x)=-6x^2+12x$ .
On met $-6x$ en facteur : $h'(x)=-6x(x-2)$ .
Un produit est nul si un facteur est nul : $x=0$ ou $x=2$ .
La plus grande solution est $2$ .

La dérivée $h'(x)=-6x(x-2)$ s'annule en $0$ et en $2$ . La plus grande valeur est $2$ . Retiens le réflexe : factoriser par $x$ quand la dérivée n'a pas de constante.

Exercice 4 Variations d'une parabole

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x^2-6x+5$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
Dresse le tableau de variations de $f$ .
Quel est le minimum de $f$ ?

Indice 1

$f'$ est une fonction affine : elle s'annule une seule fois.

Indice 2

Une fonction affine de pente positive est négative avant sa racine et positive après.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=2x-6$ .
$f'(x)=0$ équivaut à $2x=6$ , donc $x=3$ .
La pente de $f'$ est $2>0$ : $f'(x)<0$ pour $x<3$ et $f'(x)>0$ pour $x>3$ .
On en déduit que $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 3]$ et croissante sur $[3 ; +\infty[$ ¹.
On calcule $f(3)=9-18+5=-4$ . C'est le minimum de $f$ .

La fonction $f$ décroît jusqu'à $x=3$ puis croît ; son minimum vaut $-4$ , atteint en $x=3$ .

Exercice 5 Équation d'une tangente

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Calcule $f(2)$ et $f'(2)$ .
Écris l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette tangente ?

Indice 1

L'équation réduite de la tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Indice 2

Pour l'équation réduite, développe puis regroupe sous la forme $y=mx+p$ .

Voir la correction pas à pas

$f(2)=8-6+1=3$ .
$f'(x)=3x^2-3$ , donc $f'(2)=12-3=9$ .
L'équation de la tangente en $2$ est $y=f'(2)(x-2)+f(2)$ ¹, soit $y=9(x-2)+3$ .
On développe : $y=9x-18+3=9x-15$ .
L'ordonnée à l'origine est le terme constant : $-15$ .

La tangente a pour équation réduite $y=9x-15$ ; elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; -15)$ .

Exercice 6 Un bénéfice à maximiser

★★☆Environ 12 min

Une petite entreprise fabrique entre $0$ et $10$ centaines d'objets. Pour $x$ centaines d'objets vendus, le bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par $B(x)=-x^2+8x-7$ sur $[0 ; 10]$ .

Calcule $B'(x)$ et étudie son signe.
En déduis le nombre d'objets qui donne le bénéfice maximal.
Quel est ce bénéfice maximal, en milliers d'euros ?

Indice 1

$B'$ est affine, avec une pente négative.

Indice 2

Le maximum est atteint là où $B'$ passe du positif au négatif.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $B'(x)=-2x+8$ .
$B'(x)=0$ équivaut à $x=4$ .
La pente de $B'$ est $-2<0$ : $B'(x)>0$ pour $x<4$ et $B'(x)<0$ pour $x>4$ .
Donc $B$ croît sur $[0 ; 4]$ puis décroît sur $[4 ; 10]$ ¹.
Le maximum est atteint pour $x=4$ , soit $400$ objets.
$B(4)=-16+32-7=9$ .

Le bénéfice maximal est de $9$ milliers d'euros, soit $9\,000$ euros, pour $400$ objets fabriqués et vendus.

Exercice 7 Étude complète d'une fonction du troisième degré

★★★Environ 15 min

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ définie sur $[0 ; 5]$ .

Calcule $f'(x)$ et montre que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ .
Étudie le signe de $f'$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
Quelle est la valeur maximale de $f$ sur $[0 ; 5]$ ?

Indice 1

Pour factoriser $3x^2-12x+9$ , commence par mettre $3$ en facteur, puis cherche deux nombres de somme $4$ et de produit $3$ .

Indice 2

Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=3x^2-12x+9$ .
On factorise : $3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ , car $1+3=4$ et $1\times 3=3$ . On vérifie en développant : $3(x^2-4x+3)=3x^2-12x+9$ .
Le coefficient de $x^2$ est positif : $f'(x)>0$ sur $[0 ; 1[$ , $f'(x)<0$ sur $]1 ; 3[$ , $f'(x)>0$ sur $]3 ; 5]$ .
Donc $f$ croît sur $[0 ; 1]$ , décroît sur $[1 ; 3]$ , croît sur $[3 ; 5]$ ¹.
On calcule : $f(0)=1$ , $f(1)=1-6+9+1=5$ , $f(3)=27-54+27+1=1$ , $f(5)=125-150+45+1=21$ .
Le maximum est la plus grande de ces valeurs : $21$ , atteint en $x=5$ .

La valeur maximale de $f$ sur $[0 ; 5]$ est $21$ . Remarque que $f(1)=5$ est un maximum local seulement : la borne $x=5$ donne un résultat plus grand. Il faut toujours comparer avec les valeurs aux bornes.

Exercice 8 Retrouver une fonction à partir de ses tangentes

★★★Environ 15 min

Soit $f(x)=x^3+ax^2+bx$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On sait que la courbe de $f$ admet une tangente horizontale aux points d'abscisses $1$ et $3$ .

Exprime $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ .
Traduis les deux conditions par deux équations.
Détermine $a$ puis $b$ : donne la valeur de $b$ .

Indice 1

Une tangente horizontale a une pente nulle : que vaut alors le nombre dérivé ?

Indice 2

Soustrais les deux équations pour éliminer $b$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=3x^2+2ax+b$ .
Une tangente horizontale a pour pente $0$ , donc $f'(1)=0$ et $f'(3)=0$ .
$f'(1)=0$ donne $3+2a+b=0$ .
$f'(3)=0$ donne $27+6a+b=0$ .
On soustrait la première équation à la seconde : $24+4a=0$ , donc $a=-6$ .
On remplace dans la première : $3-12+b=0$ , donc $b=9$ .
Vérification : $f'(x)=3x^2-12x+9$ , qui s'annule bien en $1$ et en $3$ .

On trouve $a=-6$ et $b=9$ , donc $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . Cette fonction est celle de l'exercice précédent, privée de sa constante.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une fonction est croissante grâce à sa dérivée ?

Tu regardes le signe de $f'$ sur l'intervalle étudié. Quand $f'(x)$ est positive partout sur l'intervalle, $f$ monte ; quand $f'(x)$ est négative partout, $f$ descend ¹. Pour une fonction monotone, le programme indique que sa dérivée garde un signe constant, et il admet l'implication dans l'autre sens ¹. En pratique, tu construis le tableau de signes de $f'$ , puis tu en déduis les flèches du tableau de variations.

Quelle différence entre $f'(a)$ et $f'(x)$ ?

$f'(x)$ désigne la fonction dérivée : une expression qui dépend de $x$ . $f'(a)$ est un nombre, obtenu en remplaçant $x$ par $a$ ; c'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ . Dans l'exercice sur la tangente, on a calculé $f'(x)=3x^2-3$ puis le nombre $f'(2)=9$ .

Pourquoi calculer aussi les valeurs aux bornes de l'intervalle ?

Le maximum ou le minimum d'une fonction sur un intervalle fermé peut se trouver à une extrémité, pas seulement là où la dérivée s'annule. Dans l'étude de $x^3-6x^2+9x+1$ sur $[0 ; 5]$ , le maximum vaut $21$ en $x=5$ , alors que la dérivée s'annule en $x=1$ où la valeur n'est que $5$ .

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique · Ministère de l'Éducation nationale (education.gouv.fr)

Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de première de la voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale (education.gouv.fr). Consulté le 11 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Édubase : Introduire le nombre dérivée en classe de première, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement : Approximation d'un nombre dérivé et de la fonction dérivée, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Étude des courbes de croissance d'un enfant (application de la dérivation), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 1 Dériver un polynôme du second degré

Exercice 2 Dériver un polynôme du troisième degré

Exercice 3 Où la dérivée s'annule-t-elle ?

Exercice 4 Variations d'une parabole

Exercice 5 Équation d'une tangente

Exercice 6 Un bénéfice à maximiser

Exercice 7 Étude complète d'une fonction du troisième degré

Exercice 8 Retrouver une fonction à partir de ses tangentes

Les questions qu'on se pose

Sources

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