Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions polynômes du second degré : cours de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ; sa courbe est une parabole.
Le signe de $a$ donne le sens de la parabole : $a>0$ vers le haut, $a<0$ vers le bas.
Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ indique le nombre de racines : 2 si $\Delta>0$ , 1 si $\Delta=0$ , aucune si $\Delta<0$ .
Les racines sont $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; on en déduit la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ et le signe.
La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ donne le sommet $(\alpha\,;\,\beta)$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ .

Introduction : pourquoi étudier ces fonctions

Tu connais déjà les fonctions de référence : la fonction carrée, la fonction inverse, les fonctions affines. Dans ce cours, tu vas étudier une famille qui prolonge la fonction carrée : les fonctions polynômes du second degré. Elles servent à modéliser des situations très variées. Les fonctions du second degré s'appliquent par exemple à l'étude théorique d'une chute libre en physique.² On les retrouve aussi quand on cherche un bénéfice maximal, une aire maximale ou une trajectoire.

Le plan du cours est le suivant. On commence par reconnaître une telle fonction, puis on étudie sa courbe, la parabole. On apprend ensuite à écrire la fonction sous trois formes différentes, à calculer ses racines avec le discriminant, et enfin à étudier son signe. À chaque étape, des exemples entièrement rédigés te montrent la méthode.

Reconnaître une fonction polynôme du second degré

Les trois nombres $a$ , $b$ , $c$ ne dépendent pas de la variable $x$ .² Ils portent des noms précis : $a$ est le coefficient du second degré, $b$ celui du premier degré et $c$ le terme constant.² Cette écriture à trois termes s'appelle aussi un trinôme du second degré.²

La condition $a\neq 0$ est indispensable. Si $a=0$ , le terme en $x^2$ disparaît et il reste $bx+c$ : on retrouve une fonction affine, qui n'est plus du second degré.

La parabole, courbe de la fonction

Concrètement, voici ce que ça donne :

si $a>0$ , la parabole est « ouverte vers le haut » (en forme de U) : la fonction décroît puis croît, et le point le plus bas de la courbe est son sommet ;
si $a<0$ , la parabole est « ouverte vers le bas » (en forme de ∩) : la fonction croît puis décroît, et le sommet est le point le plus haut.

L'axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet. Deux points de la parabole situés à la même hauteur sont donc toujours à égale distance de cet axe. Cette idée est très utile : si tu connais deux solutions d'une équation $f(x)=k$ , le milieu de ces deux solutions est l'abscisse du sommet.

Parabole de $f(x)=x^2-2x-3$ · Racines -1 et 3, sommet (1 ; -4), axe de symétrie d'équation x = 1.

Les trois formes d'écriture

Une même fonction admet une infinité d'écritures. Pour le second degré, trois formes sont particulièrement utiles.² Chacune répond à une question différente.

Forme	Écriture	Ce qu'elle donne facilement
Développée	$ax^2+bx+c$	La valeur $f(0)=c$ , le calcul d'images
Canonique	$a(x-\alpha)^2+\beta$	Le sommet, les variations, le maximum ou minimum
Factorisée	$a(x-x_1)(x-x_2)$	Les racines, le signe

Démonstration · D'où vient la forme canonique

On part de $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ et on met $a$ en facteur : $f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right).$ On reconnaît le début du carré $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ . On écrit donc $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.$ On lit alors $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ . Comme $\beta=f(\alpha)$ , on peut aussi calculer $\beta$ en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans l'expression de départ.

Racines et discriminant

Démonstration · Pourquoi le discriminant décide du nombre de racines

On utilise la forme obtenue plus haut : $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].$ Résoudre $f(x)=0$ revient à résoudre $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ .

Si $\Delta<0$ , le second membre est strictement négatif alors qu'un carré est toujours positif ou nul : aucune solution.
Si $\Delta=0$ , on a $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ : une seule solution, $x=-\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta>0$ , on obtient $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ : deux solutions.

ThéorèmeRésolution de $ax^2+bx+c=0$

Signe de $\Delta$	Nombre de racines	Racines
$\Delta>0$	2	$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$	1 (racine double)	$x_0=-\dfrac{b}{2a}$
$\Delta<0$	0	aucune racine réelle

Forme factorisée et signe

Étude complète d'un exemple

ExempleÉtudier $f(x)=x^2-2x-3$

Forme développée. $a=1$ , $b=-2$ , $c=-3$ . Comme $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut. Son ordonnée à l'origine est $f(0)=-3$ .

Forme canonique. $\alpha=-\dfrac{-2}{2}=1$ et $\beta=f(1)=1-2-3=-4$ . Donc $f(x)=(x-1)^2-4$ et le sommet est $S(1\,;\,-4)$ .

Racines. $\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16$ . Les racines sont $x_1=\dfrac{2-4}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{2+4}{2}=3$ .

Forme factorisée. $f(x)=(x+1)(x-3)$ .

Signe. Positive pour $x<-1$ ou $x>3$ , négative pour $-1<x<3$ .

Variations. Décroissante sur $]-\infty\,;\,1]$ puis croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ , avec un minimum de $-4$ atteint en $x=1$ .

Contrôle de cohérence. Le milieu des racines vaut $\dfrac{-1+3}{2}=1$ : c'est bien l'abscisse du sommet.

Pièges et usages à l'examen

Pour réussir, entraîne-toi à enchaîner les gestes dans le même ordre : repérer les coefficients, calculer $\Delta$ , conclure sur les racines, puis sur le signe. Pose chaque calcul sur une ligne, avec ses parenthèses. Une vérification rapide, en remplaçant une racine dans l'expression ou en comparant le milieu des racines au sommet, évite beaucoup d'erreurs de signe.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une image

★☆☆Environ 5 min

Soit $f(x)=x^2-7x+12$ . Identifie $a$ , $b$ , $c$ , puis calcule $f(2)$ .

Indice 1

Remplace $x$ par $2$ en gardant les parenthèses : $2^2-7\times2+12$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=-7$ , $c=12$ .
On remplace : $f(2)=2^2-7\times2+12$ .
On calcule : $4-14+12=2$ .

On obtient $f(2)=2$ : le point $(2\,;\,2)$ est sur la parabole.

Exercice 2 Résoudre une équation

★★☆Environ 8 min

Résous $x^2-5x+6=0$ et donne la plus grande racine.

Indice 1

Calcule d'abord $\Delta=b^2-4ac$ .

Indice 2

Vérifie ton résultat en remplaçant dans l'équation.

Voir la correction pas à pas

On repère $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ .
On calcule $\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1$ .
Comme $\Delta>0$ , il y a deux racines : $x_1=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{5+1}{2}=3$ .
Vérification : $3^2-5\times3+6=9-15+6=0$ .

Les racines sont $2$ et $3$ ; la plus grande est $3$ . On peut factoriser $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ .

Exercice 3 Sommet et forme canonique

★★☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ . Détermine l'ordonnée $\beta$ du sommet de sa parabole.

Indice 1

Calcule d'abord $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ .

Indice 2

Puis $\beta=f(\alpha)$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=-4$ , $c=1$ .
On calcule $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$ .
On calcule $\beta=f(2)=2^2-4\times2+1=4-8+1=-3$ .
On écrit la forme canonique : $f(x)=(x-2)^2-3$ .

Le sommet est $S(2\,;\,-3)$ . Comme $a>0$ , c'est un minimum : $f(x)\geq-3$ pour tout réel $x$ .

Exercice 4 Étudier le signe

★★★Environ 12 min

Résous l'inéquation $-x^2+2x+3>0$ .

Indice 1

Calcule $\Delta$ en faisant attention au signe de $a$ .

Indice 2

Une fonction de coefficient $a<0$ est positive entre ses racines.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=-1$ , $b=2$ , $c=3$ .
On calcule $\Delta=2^2-4\times(-1)\times3=4+12=16>0$ .
Les racines sont $x_1=\dfrac{-2-4}{-2}=3$ et $x_2=\dfrac{-2+4}{-2}=-1$ ; dans l'ordre croissant : $-1$ puis $3$ .
Comme $a<0$ , la fonction est positive entre les racines.
L'inégalité est stricte : les racines sont exclues.

L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $]-1\,;\,3[$ . Test : $f(0)=3>0$ , et $0$ est bien dans cet intervalle.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert le discriminant ?

Il permet de savoir combien de racines a le trinôme avant de les calculer : deux si $\Delta>0$ , une si $\Delta=0$ , aucune si $\Delta<0$ . Il intervient aussi dans la formule des racines, donc dans la factorisation et l'étude du signe.

Comment savoir si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?

Regarde le signe de $a$ . Si $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum. Si $a<0$ , elle est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum.²

Que faire quand l'équation n'a pas de forme $ax^2+bx+c=0$ ?

Passe tous les termes dans un même membre, développe et réduis. Par exemple $x^2+2x=3$ devient $x^2+2x-3=0$ , avec $a=1$ , $b=2$ , $c=-3$ . Ensuite seulement, calcule $\Delta$ .

Pourquoi la condition $a\neq0$ est-elle obligatoire ?

Si $a=0$ , le terme en $x^2$ disparaît et la fonction devient affine : sa courbe est une droite, pas une parabole. La définition d'une fonction du second degré exige donc $a\neq0$ .¹

Peut-on toujours factoriser un trinôme ?

Non. Si $\Delta<0$ , il n'y a pas de racine réelle, donc pas de factorisation en produit de deux facteurs du premier degré. Si $\Delta=0$ , on obtient un carré : $a(x-x_0)^2$ .

Sources

Chap1 - Second degré (cours Première Spécialité), CNRS (Pari Geaux). Consulté le 11 novembre 2026.
Fonction du second degré, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Polynôme de Legendre, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Fonctions polynômes du second degré : cours de 1re technologique

L'essentiel

Introduction : pourquoi étudier ces fonctions

Reconnaître une fonction polynôme du second degré

La parabole, courbe de la fonction

Les trois formes d'écriture

Racines et discriminant

Forme factorisée et signe

Étude complète d'un exemple

Pièges et usages à l'examen

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une image

Exercice 2 Résoudre une équation

Exercice 3 Sommet et forme canonique

Exercice 4 Étudier le signe

Quiz

Les questions qu'on se pose

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