Ce quiz porte sur les fonctions polynômes du second degré, un chapitre de la partie « Fonctions » de ton programme de première technologique. Il suppose que tu connais déjà les fonctions de référence, en particulier la fonction carré. Tu vas t'entraîner à reconnaître ces fonctions, à lire leurs coefficients, à calculer des images, à décrire leur courbe et à compter leurs racines.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La fonction 2x2−x s'écrit ax2+bx+c avec a=2, b=−1 et c=0 : c'est bien une fonction du second degré 1. La fonction 3x+5 est affine, sa plus grande puissance de x est 1. La fonction x3−x2 contient x3, elle est de degré 3. Enfin x21 n'est pas un polynôme, et elle n'est pas définie en 0.
On lit les coefficients terme par terme en gardant le signe : a=1 devant x2, b=−7 devant x, c=12 seul 1. Répondre b=7 revient à oublier le signe moins. Répondre c=−12 change le signe du terme constant, qui est +12. Enfin, a est le coefficient de x2, pas le terme constant.
C'est vrai : on a a=4, b=0 et c=01. Il n'est pas nécessaire que les trois termes soient présents ; seul a doit être non nul. Le nom de la variable, t au lieu de x, n'a aucune importance.
On remplace x par 2 : g(2)=−3×22+5×2−2=−3×4+10−2=−12+10−2=−4. L'erreur tentante est de calculer (−3×2)2=36 : la puissance ne porte que sur 2, pas sur le coefficient −3.
La définition impose a=01. Si a=0, la fonction devient bx+c, qui est affine. La condition a>0 est trop restrictive : a=−3 convient très bien. La valeur 1 n'est pas obligatoire, et a peut être un réel quelconque non nul, par exemple 21 ou −2.
La représentation graphique est une parabole 2. Une droite est la courbe d'une fonction affine, ce qui arrive justement quand a=0. L'hyperbole correspond à la fonction inverse, et un cercle n'est la courbe d'aucune fonction, car un même x aurait deux images.
C'est vrai : la parabole possède un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées 2. Il est donc vertical. L'idée d'un axe horizontal est fausse : une courbe symétrique par rapport à une droite horizontale donnerait deux images pour un même x, ce qui n'est pas possible pour une fonction.
Le signe de a indique le sens de variation 2. Avec a<0, la parabole est tournée vers le bas : elle monte jusqu'à son sommet, puis redescend. Le cas « décroît puis croît » correspond à a>0, c'est l'erreur de signe la plus fréquente. Une parabole n'est jamais une droite, et elle varie bien.
Une telle fonction peut avoir 0, 1 ou 2 racines 1. Zéro racine : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Une racine : elle le touche en un seul point. Deux racines : elle le coupe deux fois. Trois racines est impossible pour une parabole, cela demanderait au moins le degré 3.
On vérifie : f(3)=9−21+12=0 et f(4)=16−28+12=0. Les deux valeurs annulent la fonction. Pour −3, on trouve 9+21+12=42, non nul. Pour 2, on obtient 4−14+12=2, non nul. Pour 1, on obtient 1−7+12=6, non nul. Les couples 2 et 6, ou 1 et 12, ont bien un produit égal à 12, mais le calcul montre qu'ils n'annulent pas la fonction.
On remplace x par −1 : f(−1)=(−1)2−7×(−1)+12=1+7+12=20. L'erreur tentante est d'écrire −12=−1 ou de garder −7 sans changer de signe : le produit de deux nombres négatifs est positif, et le carré de −1 vaut 1.
L'écriture (x−3)(x−4) est un produit de facteurs : c'est la forme factorisée 1. Elle fait apparaître directement les racines 3 et 4. La forme développée, réduite et ordonnée est x2−7x+122, c'est la somme de trois monômes. La forme canonique est une autre écriture, qui n'est pas un produit de facteurs.
C'est faux : le nombre de racines est 0, 1 ou 2 1. Une parabole coupe une droite horizontale en deux points au plus. Penser à trois racines revient à confondre avec certaines fonctions de degré 3.
Le nombre c est le terme constant 2. Le nombre a est le coefficient du second degré, et b celui du premier degré. Le sommet n'est pas un coefficient : c'est un point de la parabole. Remarque utile : c est aussi l'image de 0, puisque f(0)=c.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction est du second degré ?
Développe l'expression si nécessaire, puis repère la plus grande puissance de x. Si elle vaut 2 et si son coefficient n'est pas nul, la fonction s'écrit ax2+bx+c avec a=0 : elle est du second degré 1. Par exemple, (x−3)(x−4) se développe en x2−7x+12, donc il s'agit d'une fonction du second degré, même si l'écriture de départ est un produit.
Une fonction du second degré a-t-elle toujours des racines ?
Non. Elle peut avoir 0, 1 ou 2 racines 1. Cela dépend de la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses : si elle ne le rencontre pas, il n'y a aucune racine. Pour vérifier qu'un nombre est une racine, remplace x par ce nombre : la racine donne une image égale à 0.