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Fonctions polynômes du second degré : exercices de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ¹.
Sa courbe est une parabole, avec un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées ².
Le signe de $a$ indique le sens de variation de la fonction ².
Elle peut avoir 0, 1 ou 2 racines ¹.
Pour réussir : identifier $a$ , $b$ , $c$ , développer, factoriser, puis lire racines et extremum.

Comment utiliser ces exercices

Cette page te propose des exercices de difficulté croissante sur les fonctions polynômes du second degré. Les premiers servent à reconnaître la forme d'une fonction et à calculer des images. Les derniers t'obligent à enchaîner plusieurs outils : développement, factorisation, racines, valeur maximale ou minimale.

Une méthode simple pour t'entraîner : lis l'énoncé, cherche seul pendant quelques minutes, ouvre un indice si tu es bloqué, puis compare ta démarche avec la correction. Ne te contente pas de comparer le résultat final : vérifie que chaque étape de ta rédaction ressemble à celle de la correction.

MéthodeBoîte à outils pour les exercices

Identifier la forme : développée ( $ax^2+bx+c$ ), factorisée ( $a(x-x_1)(x-x_2)$ ) ou canonique ( $a(x-\alpha)^2+\beta$ ).
Calculer une image : remplacer $x$ par la valeur demandée, en mettant des parenthèses autour des nombres négatifs.
Trouver les racines : factoriser, puis utiliser le fait qu'un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
Chercher un extremum : utiliser la symétrie de la parabole (le sommet est au milieu des deux racines) ou, si l'énoncé te donne l'écriture $a(x-\alpha)^2+\beta$ , lire que l'extremum vaut $\beta$ , atteint pour $x=\alpha$ .
Vérifier : remplacer par une valeur simple pour contrôler un développement, ou calculer l'image d'une racine trouvée.

Pour aller plus loin : lire une parabole

Plusieurs exercices utilisent la symétrie de la parabole. Si deux points de la courbe ont la même ordonnée, l'axe de symétrie passe au milieu de leurs abscisses. Par exemple, si $f(0)=f(4)$ , l'axe est la droite d'équation $x=\frac{0+4}{2}=2$ . Le sommet de la parabole se trouve sur cet axe.

Le sens de variation dépend du signe de $a$ ². Quand $a>0$ , la parabole est « ouverte vers le haut » : la fonction décroît puis croît, et le sommet donne un minimum. Quand $a<0$ , c'est l'inverse : la fonction croît puis décroît, et le sommet donne un maximum.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une fonction du second degré

★☆☆Environ 5 min

Parmi les fonctions suivantes, indique lesquelles sont des fonctions polynômes du second degré. Pour celles qui le sont, donne $a$ , $b$ et $c$ .

$f(x)=3x^2-5x+2$
$g(x)=2x+7$
$h(x)=(x-1)(x+4)$
$k(x)=-x^2+9$

Indice 1

Une fonction du second degré s'écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ . Cherche le terme en $x^2$ .

Indice 2

Pour $h$ , développe le produit avant de répondre.

Voir la correction pas à pas

Pour $f$ : le terme en $x^2$ est $3x^2$ , donc $a=3$ ; on lit $b=-5$ et $c=2$ . C'est une fonction du second degré.
Pour $g$ : il n'y a aucun terme en $x^2$ , donc $a=0$ : ce n'est pas une fonction du second degré (c'est une fonction affine).
Pour $h$ : on développe $(x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4$ . Donc $a=1$ , $b=3$ , $c=-4$ : c'est une fonction du second degré.
Pour $k$ : on écrit $k(x)=-x^2+0x+9$ , donc $a=-1$ , $b=0$ , $c=9$ . C'est une fonction du second degré, le coefficient $b$ nul n'empêche rien.

Trois fonctions sur quatre sont du second degré : $f$ , $h$ et $k$ . Seule $g$ ne l'est pas, car son coefficient $a$ est nul.

Exercice 2 Calculer une image

★☆☆Environ 4 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-3x+1$ . Calcule $f(3)$ .

Indice 1

Remplace $x$ par $3$ partout dans l'expression.

Indice 2

Calcule d'abord le carré, puis le produit, puis additionne.

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par $3$ : $f(3)=2\times 3^2-3\times 3+1$ .
On calcule le carré : $3^2=9$ , donc $2\times 9=18$ .
On calcule le produit : $3\times 3=9$ .
On regroupe : $f(3)=18-9+1=10$ .

On obtient $f(3)=10$ : le point de coordonnées $(3\,;\,10)$ appartient à la courbe de $f$ .

Exercice 3 Racines d'une forme factorisée

★☆☆Environ 6 min

Soit $f(x)=(x-2)(x+5)$ .

Détermine les racines de $f$ .
Calcule leur somme.
Développe $f(x)$ et compare avec le coefficient $b$ .

Indice 1

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Indice 2

Développe en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.

Voir la correction pas à pas

$f(x)=0$ équivaut à $x-2=0$ ou $x+5=0$ , donc $x=2$ ou $x=-5$ . Les racines sont $2$ et $-5$ .
La somme des racines vaut $2+(-5)=-3$ .
On développe : $f(x)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10$ . Donc $a=1$ , $b=3$ , $c=-10$ .
On compare : $b=3$ est l'opposé de la somme des racines ( $-3$ ), car ici $a=1$ . Le produit des racines vaut $2\times(-5)=-10$ , soit $c$ .

La somme des racines est $-3$ . Pour cette fonction, on constate que $b=-(\text{somme})$ et $c=\text{produit}$ , ce qui est une façon de contrôler tes racines.

Exercice 4 Axe de symétrie d'une parabole

★★☆Environ 8 min

Soit $f(x)=-x^2+4x$ .

Calcule $f(0)$ et $f(4)$ .
En déduis l'abscisse de l'axe de symétrie de la parabole.
Calcule $f(2)$ et précise si c'est un maximum ou un minimum.

Indice 1

Si deux points ont la même ordonnée, l'axe de symétrie passe au milieu de leurs abscisses.

Indice 2

Regarde le signe de $a$ pour savoir si le sommet est un maximum ou un minimum.

Voir la correction pas à pas

$f(0)=-0^2+4\times 0=0$ .
$f(4)=-4^2+4\times 4=-16+16=0$ . On a donc $f(0)=f(4)$ .
Les deux points $(0\,;\,0)$ et $(4\,;\,0)$ ont la même ordonnée. L'axe de symétrie passe par le milieu des abscisses : $x=\frac{0+4}{2}=2$ .
On calcule $f(2)=-2^2+4\times 2=-4+8=4$ . Ici $a=-1<0$ , donc le sommet $(2\,;\,4)$ est un maximum.

L'axe de symétrie a pour équation $x=2$ . La fonction admet un maximum égal à $4$ , atteint pour $x=2$ .

Exercice 5 Développer et vérifier

★★☆Environ 8 min

Soit $f(x)=(2x-1)(x+3)$ .

Développe et réduis $f(x)$ , puis donne $a$ , $b$ et $c$ .
Calcule $f(2)$ avec la forme factorisée, puis avec la forme développée.
Vérifie que $\frac{1}{2}$ est une racine.

Indice 1

Pense à bien réduire : les termes en $x$ se regroupent.

Indice 2

Les deux calculs de $f(2)$ doivent donner le même résultat, c'est un excellent contrôle.

Voir la correction pas à pas

On développe : $f(x)=2x\times x+2x\times 3-1\times x-1\times 3=2x^2+6x-x-3$ .
On réduit : $f(x)=2x^2+5x-3$ , donc $a=2$ , $b=5$ , $c=-3$ .
Avec la forme factorisée : $f(2)=(2\times 2-1)(2+3)=3\times 5=15$ .
Avec la forme développée : $f(2)=2\times 4+5\times 2-3=8+10-3=15$ . Les deux résultats coïncident.
Pour $x=\frac{1}{2}$ : le facteur $2x-1$ vaut $2\times\frac{1}{2}-1=0$ , donc $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ : c'est bien une racine.

On obtient $f(x)=2x^2+5x-3$ et $f(2)=15$ . Comparer deux méthodes de calcul est un bon moyen de repérer une erreur.

Exercice 6 Résoudre une équation en factorisant

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-5x+6=0$ . Quelle est la plus grande solution ?

Indice 1

Cherche deux nombres dont la somme est $5$ et le produit est $6$ .

Indice 2

Écris le trinôme sous la forme $(x-p)(x-q)$ .

Voir la correction pas à pas

On cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ : ce sont $2$ et $3$ .
On factorise : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ . Vérification : $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ .
L'équation devient $(x-2)(x-3)=0$ , donc $x-2=0$ ou $x-3=0$ .
Les solutions sont $x=2$ et $x=3$ ; la plus grande est $3$ .

L'ensemble des solutions est $\{2\,;\,3\}$ . La plus grande solution est $3$ .

Exercice 7 Une équation sans solution réelle

★★☆Environ 6 min

Combien de racines réelles la fonction $f(x)=x^2+9$ possède-t-elle ? Justifie sans calculatrice.

Indice 1

Un carré est toujours positif ou nul.

Indice 2

Que vaut $x^2+9$ au minimum ?

Voir la correction pas à pas

Résoudre $f(x)=0$ revient à résoudre $x^2=-9$ .
Pour tout réel $x$ , on a $x^2\geq 0$ , donc $x^2+9\geq 9$ .
Ainsi $f(x)$ ne s'annule jamais : l'équation $x^2=-9$ n'a pas de solution réelle.

La fonction $f$ n'a aucune racine réelle. C'est un exemple du cas « 0 racine » : une fonction du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 racines ¹.

Exercice 8 Forme canonique et minimum

★★★Environ 12 min

Soit $f(x)=x^2-6x+5$ .

Montre que $f(x)=(x-3)^2-4$ .
En déduis le minimum de $f$ et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
Détermine les racines de $f$ en factorisant la forme canonique.

Indice 1

Développe $(x-3)^2$ et compare avec $x^2-6x+5$ .

Indice 2

Pour factoriser $(x-3)^2-4$ , reconnais une différence de deux carrés : $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .

Voir la correction pas à pas

On développe : $(x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5=f(x)$ . L'égalité est démontrée.
Un carré est positif ou nul : $(x-3)^2\geq 0$ , donc $f(x)\geq -4$ pour tout réel $x$ .
L'égalité $f(x)=-4$ a lieu quand $(x-3)^2=0$ , c'est-à-dire pour $x=3$ . Le minimum est donc $-4$ , atteint en $x=3$ . On le vérifie : $f(3)=9-18+5=-4$ .
On factorise : $(x-3)^2-4=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1)$ .
Les racines sont donc $x=5$ et $x=1$ .

Le minimum de $f$ vaut $-4$ , atteint pour $x=3$ ; les racines sont $1$ et $5$ . Le sommet $(3\,;\,-4)$ est au milieu des deux racines, ce qui est cohérent avec la symétrie de la parabole.

Exercice 9 Aire maximale d'un rectangle

★★★Environ 15 min

Un jardinier dispose d'un grillage de $20$ m pour entourer un jardin rectangulaire. Il note $x$ (en m) la longueur d'un côté, avec $0<x<10$ .

Exprime l'autre côté en fonction de $x$ , puis l'aire $A(x)$ du jardin.
Montre que $A(x)=-(x-5)^2+25$ .
En déduis les dimensions du jardin d'aire maximale et cette aire.

Indice 1

Le périmètre vaut $2\times(\text{longueur}+\text{largeur})$ , donc la somme des deux côtés vaut $10$ m.

Indice 2

Développe $-(x-5)^2+25$ et compare avec $A(x)$ .

Voir la correction pas à pas

Le périmètre est de $20$ m, donc la somme de deux côtés voisins vaut $10$ m. L'autre côté mesure $10-x$ .
L'aire est $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$ : c'est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1$ , $b=10$ , $c=0$ .
On développe : $-(x-5)^2+25=-(x^2-10x+25)+25=-x^2+10x-25+25=-x^2+10x$ . L'égalité est vérifiée.
Comme $(x-5)^2\geq 0$ , on a $A(x)\leq 25$ , avec égalité si et seulement si $x=5$ .
Pour $x=5$ , l'autre côté vaut $10-5=5$ : le jardin est un carré de $5$ m de côté, d'aire $5\times 5=25$ m².

L'aire maximale est de $25$ m², obtenue pour un carré de $5$ m de côté. Ce résultat se lit sur le signe de $a$ : comme $a<0$ , la fonction admet un maximum ².

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une fonction est du second degré quand elle est donnée sous forme factorisée ?

Développe-la. Par exemple, $(x-1)(x+4)$ devient $x^2+3x-4$ : le terme en $x^2$ a pour coefficient $a=1$ , non nul, donc la fonction est bien du second degré. Si le terme en $x^2$ disparaît après réduction, ce n'est pas le cas. La condition à vérifier est toujours $a\neq 0$ ¹.

Pourquoi une fonction du second degré peut-elle n'avoir aucune racine ?

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle la fonction vaut $0$ . La parabole peut rester entièrement au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses : il n'y a alors aucune racine. Elle peut aussi le toucher en un seul point, ou le couper en deux. C'est pourquoi on trouve 0, 1 ou 2 racines ¹. Dans l'exercice sur $x^2+9$ , la fonction est toujours supérieure ou égale à $9$ , elle ne s'annule donc jamais.

Sources

Chap1 - Second degré (cours Première Spécialité), CNRS (Pari Geaux). Consulté le 11 novembre 2026.
Fonction du second degré, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Polynôme de Legendre, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 1 Reconnaître une fonction du second degré

Exercice 2 Calculer une image

Exercice 3 Racines d'une forme factorisée

Exercice 4 Axe de symétrie d'une parabole

Exercice 5 Développer et vérifier

Exercice 6 Résoudre une équation en factorisant

Exercice 7 Une équation sans solution réelle

Exercice 8 Forme canonique et minimum

Exercice 9 Aire maximale d'un rectangle

Les questions qu'on se pose

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