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Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions polynômes du troisième degré : cours de 1re techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Une fonction polynôme de degré 3 s'écrit f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d avec a≠0a\neq 0 ; sa dérivée est f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c, un polynôme de degré 2.
  • Le signe de f′f' donne le sens de variation de ff : f′>0f'>0 sur un intervalle, ff croissante ; f′<0f'<0, ff décroissante.
  • Pour étudier le signe de f′f', on cherche ses racines (racine évidente, forme factorisée), puis on applique la règle du signe de a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2).
  • Un extremum local apparaît quand f′f' s'annule en changeant de signe ; f′(x0)=0f'(x_0)=0 seul ne suffit pas (exemple : x3x^3 en 0).
  • Méthode : dériver, factoriser, tableau de signes, tableau de variations, calcul des valeurs aux changements de sens.

Présentation de la notion

Tu as déjà rencontré les fonctions du premier degré, la fonction carré et la fonction cube. En première technologique, le programme élargit ce répertoire aux polynômes de degré 2 ou 3, ce qui donne l'occasion de s'entraîner au calcul numérique et au calcul littéral.1 Ce cours est consacré au degré 3.

L'objectif fixé est net : savoir dériver un polynôme dont le degré ne dépasse pas 3, puis en tirer les variations et les extremums.2 Chaque partie du cours sert l'une de ces deux compétences.

Pourquoi étudier ces fonctions ? Parce qu'elles servent à modéliser des situations simples où une grandeur monte, puis redescend, puis remonte : un bénéfice en fonction de la quantité produite, un volume en fonction d'une longueur, un coût en fonction d'un effectif. Repérer le maximum ou le minimum d'une telle grandeur, c'est exactement chercher un extremum.

Reconnaître une fonction polynôme de degré 3

La dérivée d'une fonction polynôme de degré 3

La dérivée d'une fonction, notée f′f', est une nouvelle fonction qui renseigne sur la façon dont ff varie. Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3, le programme demande de savoir la calculer.2 Elle s'obtient terme à terme, avec quelques règles que tu as vues dans le chapitre sur la dérivation.

Signe de la dérivée et sens de variation

L'idée se visualise bien : f′(x)f'(x) mesure la pente de la courbe au point d'abscisse xx. Une pente positive, la courbe monte quand on la parcourt de gauche à droite. Une pente négative, elle descend. Une pente nulle, la tangente est horizontale, et c'est là qu'une courbe peut changer de sens.

Étudier le signe de la dérivée : racines et forme factorisée

La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2. Il faut donc savoir étudier son signe. Le programme se concentre sur le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée, et sur la recherche des racines à partir de cette forme factorisée ; le calcul des racines à l'aide du discriminant n'est pas l'outil du programme.2 On va donc travailler avec des dérivées que l'on sait factoriser.

La méthode complète d'étude de variations

Courbe de f(x) = x³ − 3xCourbe d'une fonction de degré 3 qui monte jusqu'au point (-1 ; 2), descend jusqu'au point (1 ; -2) puis remonte.-3-2-1123-6-4-22460𝒞f(-1 ; 2)(1 ; -2)O
Courbe de f(x) = x³ − 3x · Le maximum local est au point (-1 ; 2) et le minimum local au point (1 ; -2) ; la tangente y est horizontale.

Allure de la courbe et lecture des variations

La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 3 est une courbe continue, sans coupure. Son allure dépend de deux choses : le signe de aa et le nombre de racines de la dérivée.

Dérivée f′f' Variations de ff Extremums
deux racines distinctes monte, descend, monte (si a>0a>0) ou l'inverse (si a<0a<0) un maximum local et un minimum local
une racine sans changement de signe toujours dans le même sens aucun
aucune racine toujours dans le même sens aucun

Un problème concret : chercher un maximum

Pièges, vérifications et résumé de méthode

Exercices corrigés

Exercice 1 Un minimum à repérer

★☆☆Environ 8 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−12x+1f(x)=x^3-12x+1.

  1. Calcule f′(x)f'(x) et factorise-la.
  2. Dresse le tableau de signes de f′f'.
  3. Détermine les variations de ff et la valeur du minimum local.
Indice 1

Mets 3 en facteur commun dans 3x2−123x^2-12, puis reconnais une identité remarquable.

Indice 2

Le minimum local est atteint là où f′f' passe de −- à ++.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12.

  2. On factorise : 3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2). Les racines sont −2-2 et 22.

  3. Le coefficient 33 est positif : f′>0f'>0 pour x<−2x<-2, f′<0f'<0 pour −2<x<2-2<x<2, f′>0f'>0 pour x>2x>2.

  4. Donc ff est croissante sur ]−∞ ;−2]]-\infty\,;-2], décroissante sur [−2 ;2][-2\,;2], croissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[.

  5. Le minimum local est atteint en x=2x=2 : f(2)=23−12×2+1=8−24+1=−15f(2)=2^3-12\times 2+1=8-24+1=-15.

La fonction ff admet un minimum local égal à −15-15 en x=2x=2. Au passage, f(−2)=−8+24+1=17f(-2)=-8+24+1=17 est son maximum local.

Exercice 2 Un maximum local à calculer

★★☆Environ 12 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1.

  1. Calcule f′(x)f'(x).
  2. Vérifie que 11 est une racine de f′f', puis factorise f′f'.
  3. Donne le tableau de variations de ff et la valeur de son maximum local.
Indice 1

Après avoir mis 3 en facteur, tu obtiens x2−4x+3x^2-4x+3 : teste la valeur 1.

Indice 2

Si 11 est racine de x2−4x+3x^2-4x+3, alors (x−1)(x-1) est un facteur ; cherche (x−1)(x+k)(x-1)(x+k).

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3).

  2. On teste 11 : 1−4+3=01-4+3=0, donc 11 est racine de x2−4x+3x^2-4x+3.

  3. On cherche (x−1)(x+k)=x2+(k−1)x−k(x-1)(x+k)=x^2+(k-1)x-k. En identifiant avec x2−4x+3x^2-4x+3 : −k=3-k=3 donc k=−3k=-3, et k−1=−4k-1=-4 est cohérent. Ainsi f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x)=3(x-1)(x-3).

  4. Le coefficient 33 est positif : f′>0f'>0 pour x<1x<1, f′<0f'<0 pour 1<x<31<x<3, f′>0f'>0 pour x>3x>3.

  5. Donc ff croît sur ]−∞ ;1]]-\infty\,;1], décroît sur [1 ;3][1\,;3], croît sur [3 ;+∞[[3\,;+\infty[.

  6. Valeurs : f(1)=1−6+9+1=5f(1)=1-6+9+1=5 et f(3)=27−54+27+1=1f(3)=27-54+27+1=1. Le maximum local est f(1)=5f(1)=5 et le minimum local f(3)=1f(3)=1.

La fonction ff admet un maximum local égal à 55 en x=1x=1 et un minimum local égal à 11 en x=3x=3.

Exercice 3 Maximiser un bénéfice sur un intervalle

★★★Environ 15 min

Une entreprise produit xx milliers de pièces, avec x∈[0 ;6]x\in[0\,;6]. Son bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par B(x)=−x3+9x2−15xB(x)=-x^3+9x^2-15x.

  1. Calcule B′(x)B'(x) et montre que B′(x)=−3(x−1)(x−5)B'(x)=-3(x-1)(x-5).
  2. Étudie le signe de B′B' sur [0 ;6][0\,;6] et dresse le tableau de variations de BB.
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal, et quel est ce bénéfice maximal ?
Indice 1

Développe −3(x−1)(x−5)-3(x-1)(x-5) pour retrouver −3x2+18x−15-3x^2+18x-15.

Indice 2

Sur un intervalle fermé, compare les valeurs de BB en 00, aux racines de B′B' situées dans l'intervalle, et en 66.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : B′(x)=−3x2+18x−15B'(x)=-3x^2+18x-15.

  2. On développe : −3(x−1)(x−5)=−3(x2−6x+5)=−3x2+18x−15-3(x-1)(x-5)=-3(x^2-6x+5)=-3x^2+18x-15. L'égalité est vérifiée.

  3. Le coefficient −3-3 est négatif : B′<0B'<0 sur [0 ;1[[0\,;1[, B′>0B'>0 sur ]1 ;5[]1\,;5[, B′<0B'<0 sur ]5 ;6]]5\,;6].

  4. Donc BB décroît sur [0 ;1][0\,;1], croît sur [1 ;5][1\,;5], décroît sur [5 ;6][5\,;6].

  5. On calcule : B(0)=0B(0)=0, B(1)=−1+9−15=−7B(1)=-1+9-15=-7, B(5)=−125+225−75=25B(5)=-125+225-75=25, B(6)=−216+324−90=18B(6)=-216+324-90=18.

  6. La plus grande de ces valeurs est 2525, atteinte en x=5x=5.

Le bénéfice est maximal pour une production de 5 milliers de pièces, soit 5 000 pièces, et il vaut 25 milliers d'euros, soit 25 000 €.

Quiz

8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=2x3−5x+4f(x)=2x^3-5x+4 ?

  2. Soit f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. Calcule f′(2)f'(2).

  3. Sur un intervalle, la dérivée d'une fonction ff est strictement négative. Que peut-on dire de ff sur cet intervalle ?

  4. Le polynôme P(x)=−2(x−1)(x−4)P(x)=-2(x-1)(x-4) est positif sur quel intervalle ?

  5. Si f′(x0)=0f'(x_0)=0, alors ff admet forcément un extremum local en x0x_0.

  6. Soit f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. D'après son tableau de variations, que vaut ff en son minimum local ?

  7. Soit f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1. Quelle est la valeur de f(3)f(3), minimum local de ff ?

  8. Pour k(x)=x3+3xk(x)=x^3+3x, que peut-on affirmer ?

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la dérivée d'un polynôme de degré 3 est-elle de degré 2 ?

Parce que dériver baisse l'exposant d'une unité : x3x^3 devient 3x23x^2, x2x^2 devient 2x2x, xx devient 11 et les constantes disparaissent. Le terme de plus haut degré de f′f' est donc 3ax23ax^2. C'est utile : on sait étudier le signe d'un polynôme de degré 2, ce qui permet d'en déduire les variations de ff.

Comment savoir si je dois factoriser la dérivée ?

Toujours. Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 est bien plus simple sous forme factorisée, grâce à la règle du signe de a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2). Cherche d'abord un facteur commun (comme 3x2−123x^2-12 ou −3x2+6x-3x^2+6x), puis une identité remarquable, puis une racine évidente parmi 00, 11, −1-1, 22, −2-2.3

Une fonction de degré 3 a-t-elle toujours un maximum et un minimum ?

Non. Elle en a deux seulement si sa dérivée a deux racines distinctes, comme pour x3−3xx^3-3x. Si la dérivée ne s'annule jamais (x3+3xx^3+3x) ou s'annule sans changer de signe (x3x^3), la fonction est strictement monotone et n'a aucun extremum.

Que faut-il savoir faire pour cette notion en première technologique ?

Le programme attend que tu saches dériver un polynôme de degré 3 au plus, puis en déduire ses variations et ses extremums.2 Dans la pratique : dériver, factoriser, tableau de signes, tableau de variations, valeurs des extremums et phrase de conclusion. Pour le signe d'un polynôme de degré 2, le programme ne prévoit pas de passer par le discriminant : on travaille avec la forme factorisée.2

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

  1. Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
  2. Annexe - Programme d'enseignement de mathématiques de première voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
  3. Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
  4. Suite de polynômes orthogonaux, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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