Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Fonctions polynômes du 3e degré : exercices de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction polynôme de degré 3 s'écrit $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a\neq 0$ .
Au programme de première technologique, tu dois savoir dériver une fonction polynôme dont le degré ne dépasse pas 3 ².
Le programme demande aussi d'en déduire le sens de variation et les extremums ².
Méthode : dériver, factoriser $f'$ , dresser son tableau de signes, conclure sur les variations, puis calculer les valeurs aux extremums.
Une dérivée qui ne change pas de signe ne donne aucun extremum, même si elle s'annule en un point.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus long. Les premiers travaillent le calcul d'une image et d'une dérivée. Les suivants t'amènent à étudier les variations complètes d'une fonction de degré 3. Les derniers sont des problèmes où il faut choisir la bonne fonction avant de l'étudier.

Chaque exercice a un ou deux indices. Cherche d'abord seul, sur papier, pendant quelques minutes. Ouvre l'indice seulement si tu es bloqué, puis compare ta rédaction avec la correction, étape par étape.

Le programme de première technologique place ces fonctions dans la continuité des fonctions polynômes de degré 2 ². Il attend que tu saches calculer la dérivée d'un polynôme de degré inférieur ou égal à trois ², puis déterminer son sens de variation et ses extremums ².

MéthodeLa méthode en cinq temps

Écrire la fonction sous la forme $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ .
Dériver : $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ .
Factoriser $f'(x)$ pour trouver ses racines. On cherche un facteur commun, ou on vérifie qu'une valeur proposée annule la dérivée.
Dresser le tableau de signes de $f'$ . Un produit $a(x-r_1)(x-r_2)$ avec $a>0$ est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. Avec $a<0$ , c'est l'inverse. Le programme prévoit d'utiliser la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 pour trouver ses racines et son signe ².
Conclure : $f$ est croissante là où $f'\geq 0$ , décroissante là où $f'\leq 0$ . Calculer ensuite les images aux points où le signe change : ce sont les extremums.

Les exercices

Exercice 1 Image d'un nombre

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-5x^2+4x-1$ .

Calcule l'image de $2$ par $f$ .

Indice 1

Remplace $x$ par $2$ et respecte les priorités : puissances d'abord.

Indice 2

Calcule $2^3$ et $2^2$ avant de multiplier par les coefficients.

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par $2$ : $f(2)=2\times 2^3-5\times 2^2+4\times 2-1$ .
On calcule les puissances : $2^3=8$ et $2^2=4$ , donc $f(2)=2\times 8-5\times 4+8-1$ .
On effectue les produits : $f(2)=16-20+8-1$ .
On additionne : $f(2)=3$ .

L'image de $2$ par $f$ est $3$ . Le point $(2\,;\,3)$ appartient à la courbe de $f$ .

Exercice 2 Calculer un nombre dérivé

★☆☆Environ 5 min

Soit $f(x)=x^3-3x+2$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Détermine $f'(x)$ .
Calcule $f'(2)$ .

Indice 1

La dérivée de $x^3$ est $3x^2$ , celle de $-3x$ est $-3$ , celle d'une constante est $0$ .

Indice 2

Pour $f'(2)$ , remplace $x$ par $2$ dans $f'(x)$ , pas dans $f(x)$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive terme à terme : $(x^3)'=3x^2$ , $(-3x)'=-3$ , $(2)'=0$ .
On obtient $f'(x)=3x^2-3$ .
On remplace $x$ par $2$ : $f'(2)=3\times 2^2-3$ .
On calcule : $f'(2)=12-3=9$ .

$f'(x)=3x^2-3$ et $f'(2)=9$ . La dérivée est strictement positive en $2$ : autour de $x=2$ , $f$ est croissante.

Exercice 3 Racines de la dérivée

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ .
Montre que $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ .
Quelle est la plus grande racine de $f'$ ?

Indice 1

Après avoir dérivé, cherche un facteur commun à tous les termes de $f'(x)$ .

Indice 2

Développe $3(x-1)(x-3)$ pour vérifier ta factorisation.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=3x^2-12x+9$ .
On met $3$ en facteur : $f'(x)=3(x^2-4x+3)$ .
On vérifie que $(x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$ . Donc $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ .
Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=1$ ou $x=3$ .
La plus grande racine est $3$ .

$f'(x)=3(x-1)(x-3)$ s'annule en $1$ et en $3$ . La plus grande racine est $3$ .

Exercice 4 Variations et maximum local

★★☆Environ 12 min

On reprend $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ avec $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ .

Dresse le tableau de signes de $f'$ .
Déduis-en les variations de $f$ .
Calcule la valeur du maximum local de $f$ .

Indice 1

Le coefficient $3$ est positif : $f'$ est négative entre ses deux racines.

Indice 2

Le maximum local se trouve là où $f$ passe de croissante à décroissante.

Voir la correction pas à pas

Les racines de $f'$ sont $1$ et $3$ , et le coefficient dominant $3$ est positif.
Donc $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;1[$ , $f'(x)<0$ sur $]1\,;3[$ et $f'(x)>0$ sur $]3\,;+\infty[$ .
Ainsi $f$ est croissante sur $]-\infty\,;1]$ , décroissante sur $[1\,;3]$ , croissante sur $[3\,;+\infty[$ .
$f$ passe de croissante à décroissante en $x=1$ : c'est un maximum local.
On calcule $f(1)=1-6+9+1=5$ .

Le maximum local est $f(1)=5$ . Par la même méthode, le minimum local est $f(3)=27-54+27+1=1$ .

Exercice 5 Coefficient dominant négatif

★★☆Environ 12 min

Soit $g(x)=-x^3+3x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $g'(x)=-3x(x-2)$ .
Étudie le signe de $g'$ et déduis les variations de $g$ .
Calcule $g(2)-g(0)$ .

Indice 1

Ici le coefficient dominant de $g'$ est négatif : le signe est négatif à l'extérieur des racines.

Indice 2

Les extremums sont en $x=0$ et $x=2$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive : $g'(x)=-3x^2+6x$ .
On factorise par $-3x$ : $g'(x)=-3x(x-2)$ . Les racines sont $0$ et $2$ .
Le coefficient dominant est négatif : $g'(x)<0$ sur $]-\infty\,;0[$ , $g'(x)>0$ sur $]0\,;2[$ , $g'(x)<0$ sur $]2\,;+\infty[$ .
Donc $g$ est décroissante, puis croissante, puis décroissante.
On calcule $g(0)=1$ (minimum local) et $g(2)=-8+12+1=5$ (maximum local).
Donc $g(2)-g(0)=5-1=4$ .

$g$ admet un minimum local $g(0)=1$ et un maximum local $g(2)=5$ . L'écart vaut $4$ .

Exercice 6 Écart entre les deux extremums

★★☆Environ 12 min

Soit $h(x)=x^3-12x+5$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $h'(x)$ et vérifie que $2$ et $-2$ sont des racines de $h'$ .
Dresse le tableau de variations de $h$ .
Calcule la différence entre le maximum local et le minimum local.

Indice 1

Pour vérifier qu'un nombre est racine, remplace $x$ par ce nombre dans $h'(x)$ et obtiens $0$ .

Indice 2

Factorise $h'(x)=3x^2-12$ avec $3$ en facteur, puis une identité remarquable.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $h'(x)=3x^2-12$ .
Pour $x=2$ : $3\times 4-12=0$ . Pour $x=-2$ : $3\times 4-12=0$ . Ce sont bien des racines.
On factorise : $h'(x)=3(x-2)(x+2)$ , positive à l'extérieur de $[-2\,;2]$ , négative entre les racines.
Donc $h$ est croissante sur $]-\infty\,;-2]$ , décroissante sur $[-2\,;2]$ , croissante sur $[2\,;+\infty[$ .
Maximum local : $h(-2)=-8+24+5=21$ . Minimum local : $h(2)=8-24+5=-11$ .
La différence vaut $21-(-11)=32$ .

Le maximum local est $21$ , le minimum local est $-11$ , et l'écart est $32$ .

Exercice 7 La boîte de volume maximal

★★★Environ 20 min

On dispose d'une feuille de carton carrée de $12$ cm de côté. On découpe un carré de côté $x$ cm dans chaque coin, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. On a $0\leq x\leq 6$ .

Montre que le volume de la boîte, en cm $^3$ , est $V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x$ .
Calcule $V'(x)$ et montre que $V'(x)=12(x-2)(x-6)$ .
Déduis-en les variations de $V$ sur $[0\,;6]$ .
Quel est le volume maximal de la boîte, en cm $^3$ ?

Indice 1

La base de la boîte est un carré de côté $12-2x$ , et la hauteur est $x$ .

Indice 2

Sur $[0\,;6]$ , étudie le signe de $(x-2)(x-6)$ : le facteur $x-6$ est négatif ou nul.

Voir la correction pas à pas

La base est un carré de côté $12-2x$ et la hauteur vaut $x$ : $V(x)=x(12-2x)^2$ .
On développe : $(12-2x)^2=144-48x+4x^2$ , donc $V(x)=4x^3-48x^2+144x$ .
On dérive : $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)$ .
On vérifie : $(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$ , donc $V'(x)=12(x-2)(x-6)$ .
Le coefficient $12$ est positif : $V'$ est positive pour $x<2$ , négative pour $2<x<6$ .
Donc $V$ est croissante sur $[0\,;2]$ puis décroissante sur $[2\,;6]$ : le maximum est en $x=2$ .
On calcule $V(2)=2\times(12-4)^2=2\times 64=128$ .

Le volume est maximal pour $x=2$ cm : il vaut $128$ cm $^3$ . Le côté de la base est alors $8$ cm.

Exercice 8 Une dérivée qui s'annule sans extremum

★★★Environ 15 min

Le coût total de production de $x$ centaines d'objets est modélisé, en milliers d'euros, par $C(x)=x^3-9x^2+27x+10$ pour $x\geq 0$ .

Calcule $C'(x)$ et montre que $C'(x)=3(x-3)^2$ .
Étudie le signe de $C'$ . Que peux-tu dire des variations de $C$ ?
$C$ admet-elle un extremum en $x=3$ ?
Calcule $C(3)$ .

Indice 1

Un carré est toujours positif ou nul : que devient le signe de $C'$ ?

Indice 2

Pour qu'il y ait extremum, il faut que $C'$ change de signe.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $C'(x)=3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)$ .
Comme $x^2-6x+9=(x-3)^2$ , on a $C'(x)=3(x-3)^2$ .
Un carré est positif ou nul, donc $C'(x)\geq 0$ pour tout $x$ , et $C'(x)=0$ seulement pour $x=3$ .
$C$ est donc croissante sur $[0\,;+\infty[$ .
$C'$ s'annule en $3$ sans changer de signe : il n'y a pas d'extremum en $x=3$ .
On calcule $C(3)=27-81+81+10=37$ .

$C$ est croissante partout et n'a aucun extremum. Au point où la dérivée s'annule, $C(3)=37$ milliers d'euros : la courbe marque seulement un palier.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une valeur où la dérivée s'annule est un extremum ?

Regarde le signe de $f'$ de part et d'autre. Si $f'$ passe du positif au négatif, tu as un maximum local. Si elle passe du négatif au positif, c'est un minimum local. Si elle garde le même signe, comme dans $f'(x)=3(x-3)^2$ , il n'y a pas d'extremum. Pour trouver les variations et les extremums, le programme s'appuie sur la dérivée ².

Faut-il savoir résoudre une équation du second degré avec le discriminant ?

Non. Pour un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée, le programme s'en tient à lire les racines et le signe. Le calcul des racines avec le discriminant n'est pas à ce niveau ². Dans ces exercices, la dérivée se factorise toujours par un facteur commun, une identité remarquable ou une racine proposée que tu vérifies.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Annexe - Programme d'enseignement de mathématiques de première voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Suite de polynômes orthogonaux, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Image d'un nombre

Exercice 2 Calculer un nombre dérivé

Exercice 3 Racines de la dérivée

Exercice 4 Variations et maximum local

Exercice 5 Coefficient dominant négatif

Exercice 6 Écart entre les deux extremums

Exercice 7 La boîte de volume maximal

Exercice 8 Une dérivée qui s'annule sans extremum

Les questions qu'on se pose

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