Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Quiz : fonctions polynômes du troisième degré en 1re techno
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une fonction polynôme de degré 3 s'écrit avec .
- Sa dérivée est un polynôme de degré 2 : c'est son signe qui donne le sens de variation.
- Le programme demande de calculer cette dérivée, puis de déterminer le sens de variation et les extremums.12
- Un extremum apparaît quand la dérivée s'annule en changeant de signe ; une dérivée nulle ne suffit pas.
Avant de commencer
Ce quiz couvre les fonctions polynômes de degré 3, dans la continuité des fonctions de référence et des polynômes de degré 2. Tu y croiseras des calculs de dérivée, des études de signe, des tableaux de variation, la recherche d'extremums et la vérification d'une racine.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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On dérive terme à terme : donne , donne , et la constante disparaît. Donc . La réponse garde un de trop sur le terme du premier degré. Dans , le facteur 3 de la dérivée de est oublié. Quant à , l'exposant n'a pas baissé d'un cran.
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donne et donne . La constante 5 a une dérivée nulle, donc elle ne figure pas dans . C'est l'erreur de la deuxième proposition. La troisième oublie de multiplier par l'exposant, la quatrième n'abaisse pas le degré.
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On obtient , puis , puis , et la constante disparaît. La deuxième réponse la garde à tort. La troisième ne double pas le coefficient du terme en . La dernière oublie les multiplications par les exposants.
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Le produit est négatif quand est strictement entre et . La fonction décroît donc sur . Elle croît sur les deux intervalles extérieurs, où est positive, ce qui écarte les deuxième et troisième réponses. Elle ne peut pas décroître partout : change de signe.
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La dérivée s'annule en 1 en passant du négatif au positif : décroît puis croît, donc il y a un minimum local. On calcule . Attention à ne pas confondre l'abscisse du minimum (1) avec sa valeur ().
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La fonction croît jusqu'à , puis décroît : le maximum local est atteint en . On calcule . Dire que le maximum vaut revient à confondre l'abscisse et l'ordonnée.
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On remplace dans : . Le résultat est positif, donc est croissante au voisinage de 2, ce qui correspond bien au tableau de variation. Une erreur fréquente consiste à calculer au lieu de .
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On a . Comme , on a pour tout réel. La dérivée ne change jamais de signe et reste positive : est strictement croissante. Il n'y a donc aucun extremum. Les deux dernières propositions supposeraient un changement de signe de , qui n'existe pas ici.
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est positif quand est entre et : sur cet intervalle, et croît. Hors de cet intervalle, est négative et décroît. Le signe moins devant inverse le tableau par rapport à , ce qui piège beaucoup d'élèves.
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Faux. Pour , on a , qui s'annule en 0. Pourtant reste positif de chaque côté de 0 : la fonction croît avant et après, sans extremum. Un extremum demande que change de signe en .
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Vrai. Le terme avec devient , de degré 2, et les autres termes baissent aussi d'un degré. C'est pour cela que l'étude du signe de se ramène à un trinôme du second degré, vu au chapitre précédent. Dire que le degré reste 3 oublie l'effet de la dérivation.
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: 1 est racine. Pour les autres : , et , tous non nuls. Tester d'abord 0, 1, , 2 et est la démarche habituelle pour chercher une racine évidente.3
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Un facteur de degré 1 multiplié par un facteur de degré 2 donne un polynôme de degré 3, puisque les degrés s'additionnent. C'est ce qui permet, une fois une racine trouvée, de factoriser un polynôme de degré 3 par et un polynôme de degré 2.3 Le degré 4 viendrait d'une addition fausse, le degré 2 d'un oubli du terme de plus haut degré.
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a pour plus haut exposant 3. En développant , on obtient un terme de coefficient 1 : le degré est 3. est de degré 4, de degré 2, et n'est pas un polynôme car figure au dénominateur.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une valeur annulant la dérivée est un extremum ?
Que faire quand la dérivée ne se factorise pas facilement ?
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2. Tu peux en chercher les racines en testant des valeurs simples comme 0, 1, , 2 ou , puis factoriser. Si l'énoncé donne déjà la forme factorisée, utilise-la directement pour étudier le signe.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
- Programme de mathématiques de première technologique (séries STD2A, STHR, STI2D, STL, STMG et ST2S), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
- Annexe - Programme d'enseignement de mathématiques de première voie technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
- Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
- Suite de polynômes orthogonaux, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
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