Arbres pondérés : cours de Première technologique

Quand une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il devient vite difficile de tout garder en tête : on tire une boule, puis une autre ; on choisit une machine, puis on contrôle une pièce ; on lance une pièce plusieurs fois. L'arbre pondéré est un dessin qui range toutes les issues possibles et leurs probabilités. Il transforme un énoncé parfois long en un schéma que l'on lit de gauche à droite.

Ce cours s'appuie sur les probabilités conditionnelles, que tu connais déjà : l'arbre n'est rien d'autre qu'une façon de dessiner les formules $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ et $P(A)+P(\overline{A})=1$. Il prépare aussi la suite du chapitre : variables aléatoires, loi de Bernoulli, répétition d'épreuves indépendantes.

Le programme de la classe de première technologique demande de savoir représenter par un arbre de probabilités la répétition de plusieurs épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.¹ Les arbres pondérés sont donc un outil à maîtriser dès maintenant, car on les retrouve ensuite dans toutes les situations de répétition.

Dans un arbre de probabilités, la racine est placée à gauche et représente le début de l'expérience. Chaque trait qui part d'un nœud est une branche (le mot « arête » est aussi employé en théorie des graphes).² On distingue deux sortes de nœuds : ceux qui ont des suites, appelés nœuds internes, et ceux qui n'en ont aucune, appelés feuilles.² Dans nos arbres, une feuille correspond à une issue finale de l'expérience, par exemple « deux boules rouges ».

Prenons une expérience en deux étapes. On observe d'abord l'événement $A$ ou son contraire $\overline{A}$. Puis on observe l'événement $B$ ou son contraire $\overline{B}$. L'arbre a donc deux branches au départ, puis deux branches qui repartent de chacun des deux nœuds.

Pourquoi ? Depuis un nœud, l'une des branches se réalise forcément et une seule : les issues proposées sont toutes les possibilités, sans chevauchement. Cette règle sert de vérification : si, en sortie d'un nœud, les nombres ne font pas 1, il y a une erreur de lecture ou de calcul. Elle permet aussi de compléter une branche manquante : si $P_A(B)=0{,}7$, alors $P_A(\overline{B})=1-0{,}7=0{,}3$.

Souvent, l'événement qui nous intéresse n'est pas au bout d'un seul chemin. Par exemple, « l'élève pratique un sport en club » se trouve au bout de deux chemins : $I\to S$ et $\overline{I}\to S$. Comme ces deux chemins ne peuvent pas se réaliser ensemble, on additionne leurs probabilités.

L'arbre est construit dans un certain ordre : ici, d'abord interne ou externe, puis sport ou non. Mais l'énoncé peut poser la question dans l'autre sens : sachant qu'un élève pratique un sport en club, quelle est la probabilité qu'il soit interne ? Cette probabilité, $P_S(I)$, n'est écrite sur aucune branche : il faut la calculer.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues, souvent appelées succès et échec. Le programme de première technologique attend que tu saches représenter par un arbre la répétition de $n$ de ces épreuves, identiques et indépendantes.¹ Le mot « identiques » signifie que la probabilité de succès est la même à chaque fois ; le mot « indépendantes » signifie que le résultat d'une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes.