Arbres pondérés : exercices corrigés de 1re technologique

Probabilité de « Pile » : $1-0{,}6=0{,}4$.

Arbre : de la racine partent deux branches, « F » ($0{,}6$) et « P » ($0{,}4$). De chacune d'elles partent de nouveau deux branches « F » ($0{,}6$) et « P » ($0{,}4$), puisque les lancers sont indépendants et que la pièce ne change pas.

Le chemin « P puis P » est formé de deux branches de probabilité $0{,}4$.

On multiplie : $0{,}4\times 0{,}4=0{,}16$.

Il y a trois épreuves, donc trois générations de branches : de la racine à une feuille, on parcourt 3 arêtes. La hauteur est $3$.²

Après la 1re épreuve : $2$ nœuds ; après la 2e : $2\times 2=4$ ; après la 3e : $4\times 2=8$.

Les nœuds de la dernière génération n'ont pas de fils : ce sont les feuilles.² Il y en a $2^3=8$.

À chaque tirage : $P(R)=\dfrac{3}{5}$ et $P(B)=\dfrac{2}{5}$.

Chemin « R puis B » : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}$.

Chemin « B puis R » : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{25}$.

Ces deux chemins s'excluent : on additionne, $\dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25}=\dfrac{12}{25}=0{,}48$.

Première génération : $P(R)=\dfrac{3}{5}$ et $P(B)=\dfrac{2}{5}$.

Si la 1re boule est rouge, il reste 2 rouges et 2 bleues : la branche R→R vaut $\dfrac{2}{4}$ et la branche R→B vaut $\dfrac{2}{4}$.

Si la 1re boule est bleue, il reste 3 rouges et 1 bleue : B→R vaut $\dfrac{3}{4}$ et B→B vaut $\dfrac{1}{4}$.

Chemin « R puis B » : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}$.

Chemin « B puis R » : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{20}$.

Somme : $\dfrac{12}{20}=0{,}6$.

Probabilité d'un échec : $1-0{,}7=0{,}3$. Chaque nœud donne deux branches : S ($0{,}7$) et E ($0{,}3$).

Les chemins à exactement deux succès sont SSE, SES et ESS : il y en a 3.

Pour chacun, la probabilité est $0{,}7\times0{,}7\times0{,}3=0{,}147$ (l'ordre des facteurs n'y change rien).

On additionne les trois chemins : $3\times0{,}147=0{,}441$.

L'événement contraire est « aucun succès », c'est-à-dire le chemin EEE.

Sa probabilité est $0{,}3\times0{,}3\times0{,}3=0{,}027$.

On en déduit $P(\text{au moins un succès})=1-0{,}027=0{,}973$.

Première génération : $P(M)=0{,}02$ et $P(\overline{M})=0{,}98$.

Après M : T+ avec $0{,}95$ et T− avec $0{,}05$. Après non M : T+ avec $0{,}10$ et T− avec $0{,}90$.

Chemin M puis T+ : $0{,}02\times0{,}95=0{,}019$.

Chemin non M puis T+ : $0{,}98\times0{,}10=0{,}098$.

On additionne : $0{,}019+0{,}098=0{,}117$.

Le numérateur est la probabilité du chemin M puis T+ : $P(M\cap T+)=0{,}019$.

Le dénominateur est la probabilité du test positif : $P(T+)=0{,}117$.

On divise : $\dfrac{0{,}019}{0{,}117}=\dfrac{19}{117}\approx0{,}162$.