Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Arbres pondérés : fiche de révision de Première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un arbre pondéré est un arbre de probabilités : chaque branche porte une probabilité, chaque chemin mène à une feuille qui représente une issue.
Sur les branches qui partent d'un même nœud, les probabilités ont pour somme 1.
La probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités de ses branches.
Pour un événement qui regroupe plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
Pour la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, les mêmes probabilités se retrouvent à chaque niveau de l'arbre.
Le vocabulaire de l'arbre
Quand une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, un schéma aide à ne rien oublier : l'arbre pondéré. Il découle des probabilités conditionnelles que tu viens de voir, et il prépare les variables aléatoires et la répétition d'épreuves.
Les règles de calcul
Méthode et exemple : tirage sans remise
Répétition d'épreuves de Bernoulli
Le programme de ta classe demande de représenter par un arbre la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. 1 Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : le succèsS (probabilité p) et l'échecS (probabilité 1−p).
Pièges fréquents
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les branches d'un même nœud couvrent toutes les issues de l'étape suivante, sans se chevaucher : la somme vaut 1. Elle ne dépend pas du nombre de branches, et la probabilité du nœud précédent n'intervient pas dans cette somme.
On multiplie les probabilités le long du chemin : 0,6×0,5=0,3. Additionner donnerait 1,1, ce qui est impossible pour une probabilité.
Deux chemins différents ne peuvent pas se réaliser ensemble : on additionne leurs probabilités. Multiplier est réservé aux branches successives d'un même chemin.
Les épreuves étant identiques et indépendantes, chaque étape reprend la même probabilité de succès p. Ce n'est pas le cas pour un tirage sans remise, où les épreuves ne sont pas indépendantes.
Deux chemins conviennent : SS et SS, de probabilité 0,3×0,7=0,21 chacun. On les additionne : 0,42. Garder un seul chemin donnerait 0,21 et oublierait l'autre ordre.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois changer les probabilités à la deuxième étape ?
Regarde si la première étape modifie la situation. Dans un tirage sans remise, la composition de l'urne change, donc les probabilités changent. Dans un tirage avec remise ou une répétition indépendante, elles restent les mêmes.
Que faire si la somme des probabilités d'un nœud n'est pas égale à 1 ?
Il y a une erreur. Recompte les effectifs ou refais la soustraction 1−p. Une probabilité manquante se trouve par ce calcul, quand il n'y a que deux branches.
Faut-il toujours dessiner l'arbre complet ?
Non. Tu peux ne détailler que les chemins utiles, à condition de justifier le calcul. Pour des questions comme « au moins un », l'arbre complet aide à ne rien oublier.