Implication et équivalence : exercices de 1re technologique

Hypothèse : « l'entier est multiple de 10 ». Conclusion : « l'entier est multiple de 5 ».

Avec le symbole : « n multiple de 10 » $\Rightarrow$ « n multiple de 5 ».

Exemple 1 : 20 est multiple de 10 et $20 = 5 \times 4$, donc multiple de 5.

Exemple 2 : 70 est multiple de 10 et $70 = 5 \times 14$, donc multiple de 5.

Raison générale : si $n = 10k$, alors $n = 5 \times (2k)$, donc $n$ est bien multiple de 5. L'implication est vraie.

Si $x = 3$, alors $x^2 = 3 \times 3 = 9$ : l'implication est vraie.

Réciproque : « si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ ».

Prenons $x = -3$ : $x^2 = (-3) \times (-3) = 9$, donc l'hypothèse de la réciproque est vérifiée.

Mais $x = -3$ n'est pas égal à 3 : la conclusion est fausse.

La réciproque est donc fausse, alors que l'implication de départ est vraie.

L'implication est : « multiple de 6 » $\Rightarrow$ « pair ». Il suffit d'être multiple de 6 pour être pair : condition suffisante.

Pour être multiple de 6, il faut être pair (sinon l'implication serait contredite) : condition nécessaire.

Prenons 4 : il est pair, mais $4$ n'est pas dans la table de 6.

Donc être pair ne suffit pas : la condition est nécessaire mais pas suffisante.

On soustrait 5 aux deux membres : $3x + 5 = 17 \Leftrightarrow 3x = 12$.

On divise les deux membres par 3 (non nul) : $3x = 12 \Leftrightarrow x = 4$.

Chaque passage est une équivalence, donc $(E)$ et $x = 4$ ont le même ensemble de solutions.

Vérification : $3 \times 4 + 5 = 17$. L'ensemble des solutions est $\{4\}$ et $x = 4$.

Cas 1 : en soustrayant 2, $x + 2 = 7 \Leftrightarrow x = 5$. Les deux implications sont vraies, c'est une équivalence.

Cas 2 : si $x = 5$, alors $x^2 = 25$ : $A \Rightarrow B$ est vraie.

Mais $x = -5$ vérifie $x^2 = 25$ sans valoir 5 : $B \Rightarrow A$ est fausse. Pas d'équivalence.

Cas 3 : tout entier est un réel, donc $A \Rightarrow B$ est vraie.

Le nombre $0{,}5$ est réel sans être entier : $B \Rightarrow A$ est fausse. Pas d'équivalence.

Les entiers pairs de 1 à 30 sont $2, 4, \dots, 30$ : il y en a $30 \div 2 = 15$.

Les multiples de 4 de 1 à 30 sont $4, 8, \dots, 28$ : il y en a 7.

Tout multiple de 4 est pair, donc on retire 7 des 15.

$15 - 7 = 8$. Ce sont $2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30$.

Phrase 1 : « pour tout entier multiple de 3, il est impair ». Le nombre 6 est multiple de 3 et pair : la phrase est fausse.

Phrase 2 : « pour tout carré, ses quatre côtés ont la même longueur ». C'est une propriété du carré : la phrase est vraie.

Phrase 3 : lue comme « il existe deux entiers tels que l'un est le double de l'autre », elle est vraie ($8 = 2 \times 4$).

Lue comme « tout entier est le double d'un entier », elle est fausse : 3 n'est le double d'aucun entier.

Question 1, sens direct : si $0 \lt a \lt b$, alors $a \times a \lt a \times b$ et $a \times b \lt b \times b$, donc $a^2 \lt b^2$.

Sens réciproque : si $a^2 \lt b^2$ avec $a$ et $b$ strictement positifs, et si on avait $a \geq b$, le même calcul donnerait $a^2 \geq b^2$, ce qui est absurde. Donc $a \lt b$.

Les deux sens sont vrais : pour des nombres strictement positifs, $a \lt b \Leftrightarrow a^2 \lt b^2$. C'est le principe du passage au carré par équivalence².

Question 2 : $a = -3 \lt 2 = b$, donc l'hypothèse est vraie.

Mais $a^2 = 9$ et $b^2 = 4$, donc $a^2 \lt b^2$ est fausse : l'implication est fausse sans la condition de signe.