Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Évolutions successives et réciproques : cours de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une évolution de taux $t$ se traduit par le coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$ : on multiplie la valeur de départ par $CM$ .²
Pour des évolutions successives, les coefficients se multiplient : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times \dots$ ; le taux global vaut $CM_{global} - 1$ .¹²
Les taux ne s'additionnent pas : +10 % puis +10 % donne +21 %, pas +20 %.
L'évolution réciproque ramène à la valeur de départ : son coefficient est l'inverse, $CM' = \dfrac{1}{CM}$ .²³
Pour de petits taux, le taux global est proche de la somme des taux et le taux réciproque proche de l'opposé du taux direct, mais ce n'est qu'une approximation.³

Introduction : pourquoi enchaîner des pourcentages demande de la méthode

Un magasin augmente le prix d'un article de 20 %, puis, quelques semaines plus tard, le solde avec une remise de 20 %. Beaucoup d'élèves répondent sans hésiter : « on revient au prix de départ ». C'est faux, et comprendre pourquoi est tout l'objet de ce cours.

Dans la vie courante, les pourcentages s'enchaînent sans cesse : un loyer qui augmente chaque année, un abonnement qui change de tarif, une population qui croît puis décroît, un placement dont la valeur varie de mois en mois. À chaque fois se pose la même question : que devient la valeur après plusieurs évolutions, et comment revenir en arrière ?

En Première, le programme t'amène à déterminer le taux global d'un enchaînement d'évolutions, puis à trouver le taux de l'évolution qui annule une évolution donnée.¹ Il s'appuie sur ce que tu as vu avant : les proportions et les pourcentages. Ici, tu apprends à manipuler les évolutions à l'aide d'un outil très simple, le coefficient multiplicateur, qui transforme tous les calculs en multiplications.

Rappels : proportion et évolution, deux usages du pourcentage

Un pourcentage peut dire deux choses très différentes. Les documents d'accompagnement du programme demandent de savoir reconnaître si un pourcentage décrit la part d'un tout ou bien une variation au cours du temps.²

Une proportion compare une partie à un tout, à un instant donné. Exemple : « 40 % des élèves d'une classe de 30 élèves sont des filles » signifie qu'il y a $\dfrac{40}{100} \times 30 = 12$ filles.
Une évolution compare deux valeurs d'une même grandeur à deux moments différents. Exemple : « le prix a augmenté de 40 % » signifie que le nouveau prix est supérieur à l'ancien de 40 % de l'ancien prix.

Dans tout ce cours, il n'est question que du second usage.

Le coefficient multiplicateur

Calculer « la valeur de départ plus 20 % de la valeur de départ » est long. On gagne du temps en remarquant que ajouter 20 % de $V_I$ revient à multiplier $V_I$ par un nombre bien choisi.

Démonstration · Pourquoi $V_F = V_I(1+t)$

Par définition, $t = \dfrac{V_F - V_I}{V_I}$ . On multiplie les deux membres par $V_I$ : $t \times V_I = V_F - V_I$ . On ajoute $V_I$ : $V_F = V_I + t \times V_I = V_I \times (1 + t)$ .

ExempleTable de conversion à connaître

Évolution	Taux $t$	Coefficient $CM = 1 + t$
hausse de 20 %	$+0{,}20$	$1{,}20$
hausse de 5 %	$+0{,}05$	$1{,}05$
hausse de 100 %	$+1$	$2$
baisse de 20 %	$-0{,}20$	$0{,}80$
baisse de 7 %	$-0{,}07$	$0{,}93$
baisse de 50 %	$-0{,}50$	$0{,}50$

Une hausse donne un coefficient supérieur à 1, une baisse donne un coefficient compris entre 0 et 1.

Évolutions successives : les coefficients se multiplient

Que se passe-t-il quand une grandeur subit une évolution, puis une seconde appliquée au résultat de la première ? Le calcul direct est simple. Prenons un objet à $200$ €.

Première évolution : hausse de 20 %. Prix : $200 \times 1{,}2 = 240$ €.
Seconde évolution : baisse de 10 %. Prix : $240 \times 0{,}9 = 216$ €.

Le prix final est de $216$ €. Quel est le taux d'évolution global, de $200$ € à $216$ € ? $\dfrac{216 - 200}{200} = 0{,}08$ : c'est une hausse de 8 %, et non de $20 - 10 = 10\ \%$ .

Démonstration · Démonstration

Notons $V_0$ la valeur de départ. Après la première évolution : $V_1 = V_0 \times CM_1$ . Après la seconde, appliquée à $V_1$ : $V_2 = V_1 \times CM_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2$ . La valeur finale s'obtient donc en multipliant $V_0$ par $CM_1 \times CM_2$ , qui est par définition le coefficient global. Le raisonnement se répète pour trois évolutions ou davantage.

CoefficientsRemplace chaque taux t par CM = 1 + t.
ProduitMultiplie tous les coefficients entre eux.
Taux globalRetire 1 au produit obtenu.
ConclusionÉcris une phrase : hausse ou baisse de combien.

Calculer un taux global pas à pas · Méthode pour enchaîner plusieurs évolutions.

Évolution réciproque : revenir à la valeur de départ

Un prix a augmenté de 25 %. Quelle baisse faudrait-il lui appliquer pour retrouver exactement le prix d'origine ? La réponse n'est pas 25 %, et c'est ce que montre l'évolution réciproque.

Démonstration · Démonstration

L'évolution directe donne $V_F = V_I \times CM$ . Pour revenir à $V_I$ , on cherche $CM'$ tel que $V_F \times CM' = V_I$ , donc $V_I \times CM \times CM' = V_I$ . En simplifiant par $V_I$ (non nul), on obtient $CM \times CM' = 1$ , soit $CM' = \dfrac{1}{CM}$ . Les deux évolutions successives ont alors un coefficient global égal à $1$ , c'est-à-dire un taux global nul.

Petits taux : des approximations utiles à connaître

On remarque dans les exemples que, pour de petits pourcentages, les résultats exacts sont proches de ceux qu'on obtiendrait en additionnant ou en changeant de signe. Cela a une explication précise.

Démonstration · D'où vient l'approximation de la somme

Pour deux taux $t_1$ et $t_2$ : $(1 + t_1)(1 + t_2) = 1 + t_1 + t_2 + t_1 t_2$ . Le taux global vaut donc $t_1 + t_2 + t_1 t_2$ . Quand $t_1$ et $t_2$ sont petits, leur produit $t_1 t_2$ est encore beaucoup plus petit : par exemple, pour $t_1 = t_2 = 0{,}01$ , il vaut $0{,}0001$ . Le taux global est alors presque égal à $t_1 + t_2$ .

ExempleComparer exact et approché

Situation	Valeur exacte	Valeur approchée
+1 % puis +2 %	$1{,}01 \times 1{,}02 - 1 = 0{,}0302$ , soit 3,02 %	3 %
+5 % puis +3 %	$1{,}05 \times 1{,}03 - 1 = 0{,}0815$ , soit 8,15 %	8 %
+10 % puis +10 %	21 %	20 %
Réciproque de +2 %	$\dfrac{1}{1{,}02} - 1 \approx -0{,}0196$ , soit -1,96 %	-2 %
Réciproque de +50 %	$\dfrac{1}{1{,}5} - 1 \approx -0{,}3333$ , soit -33,33 %	-50 %

L'approximation est bonne pour 1 % et 2 %, correcte pour 5 % et 3 %, médiocre pour 10 %, et franchement mauvaise pour 50 %. Plus les taux sont grands, plus elle s'éloigne de la réalité.

Méthodes pour résoudre les problèmes types

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux hausses qui s'enchaînent

★☆☆Environ 5 min

Le prix d'un forfait téléphonique augmente de 10 % en janvier, puis de 20 % en juillet. Calcule le taux d'évolution global sur l'année, en pourcentage.

Indice 1

Convertis chaque pourcentage en coefficient multiplicateur.

Indice 2

On ne peut pas additionner les deux taux.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient de la première hausse est $CM_1 = 1 + 0{,}10 = 1{,}1$ .
Le coefficient de la seconde hausse est $CM_2 = 1 + 0{,}20 = 1{,}2$ .
Le coefficient global est $CM_{global} = 1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32$ .
Le taux global est $1{,}32 - 1 = 0{,}32$ , soit 32 %.

Le prix a augmenté de 32 % sur l'année, et non de 30 % : la seconde hausse s'applique à un prix déjà augmenté.

Exercice 2 Annuler une hausse

★☆☆Environ 5 min

Une action a gagné 25 % de sa valeur. Quel taux d'évolution faut-il appliquer ensuite pour qu'elle retrouve exactement sa valeur d'avant la hausse ? Donne le taux en pourcentage (négatif pour une baisse).

Indice 1

L'évolution cherchée est l'évolution réciproque.

Indice 2

Son coefficient est l'inverse du coefficient de la hausse.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient de la hausse est $CM = 1{,}25$ .
Le coefficient de l'évolution réciproque est $CM' = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ .
Le taux réciproque est $t' = 0{,}8 - 1 = -0{,}2$ , soit -20 %.
Vérification : $1{,}25 \times 0{,}8 = 1$ , la valeur de départ est retrouvée.

Il faut une baisse de 20 %, et non de 25 %, pour compenser une hausse de 25 %.

Exercice 3 Hausse puis baisse de même pourcentage

★★☆Environ 6 min

Pendant les soldes, un magasin baisse le prix d'un manteau de 30 %. Après les soldes, il le remonte de 30 %. Quel est le taux d'évolution global entre le prix avant soldes et le prix final, en pourcentage ?

Indice 1

Une baisse de 30 % a pour coefficient $0{,}7$ .

Indice 2

Multiplie les deux coefficients puis retire 1.

Voir la correction pas à pas

Coefficient de la baisse : $1 - 0{,}30 = 0{,}7$ .
Coefficient de la hausse : $1 + 0{,}30 = 1{,}3$ .
Coefficient global : $0{,}7 \times 1{,}3 = 0{,}91$ .
Taux global : $0{,}91 - 1 = -0{,}09$ , soit -9 %.

Le prix final est inférieur de 9 % au prix d'origine. Remonter le prix de 30 % ne compense pas une baisse de 30 %.

Exercice 4 Prix final après deux évolutions

★★☆Environ 6 min

Un article coûte $150$ €. Son prix augmente de 8 %, puis diminue de 5 %. Calcule son prix final, en euros.

Indice 1

Écris les deux coefficients : $1{,}08$ et $0{,}95$ .

Indice 2

Multiplie le prix de départ par le produit des coefficients.

Voir la correction pas à pas

Coefficient de la hausse : $1{,}08$ .
Coefficient de la baisse : $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .
Prix final : $150 \times 1{,}08 \times 0{,}95$ .
Calcul : $150 \times 1{,}08 = 162$ , puis $162 \times 0{,}95 = 153{,}9$ .

Le prix final est de 153,90 €, soit un taux global de $1{,}08 \times 0{,}95 - 1 = 0{,}026$ , une hausse de 2,6 %.

Exercice 5 Rattraper une forte baisse

★★★Environ 8 min

La valeur d'un portefeuille a chuté de 40 %. De quel pourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau d'avant la chute ? Arrondis au centième de pourcent.

Indice 1

Une baisse de 40 % a pour coefficient $0{,}6$ .

Indice 2

Cherche l'inverse du coefficient, puis retire 1.

Voir la correction pas à pas

Coefficient de la baisse : $CM = 1 - 0{,}40 = 0{,}6$ .
Coefficient réciproque : $CM' = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3}$ .
Taux réciproque : $t' = \dfrac{5}{3} - 1 = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$ .
En pourcentage : environ 66,67 %.

Il faut une hausse d'environ 66,67 % : plus la baisse est forte, plus la hausse nécessaire pour la compenser est grande.

Exercice 6 Trois évolutions et petit taux

★★★Environ 8 min

Une grandeur subit trois évolutions successives : une hausse de 10 %, une nouvelle hausse de 10 %, puis une baisse de 20 %. Calcule le taux d'évolution global, en pourcentage.

Indice 1

Les trois coefficients sont $1{,}1$ , $1{,}1$ et $0{,}8$ .

Indice 2

Le résultat n'est pas $10 + 10 - 20 = 0$ .

Voir la correction pas à pas

Coefficients : $CM_1 = 1{,}1$ , $CM_2 = 1{,}1$ , $CM_3 = 0{,}8$ .
Coefficient global : $1{,}1 \times 1{,}1 \times 0{,}8 = 1{,}21 \times 0{,}8 = 0{,}968$ .
Taux global : $0{,}968 - 1 = -0{,}032$ .
En pourcentage : -3,2 %.

Le taux global est de -3,2 %, soit une baisse. La somme des taux (0 %) est une mauvaise approximation, car 20 % n'est pas un petit taux.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne peut-on pas additionner les pourcentages d'évolutions successives ?

Parce que chaque évolution s'applique à la valeur obtenue par la précédente, et non à la valeur de départ. Seule la multiplication des coefficients tient compte de ce décalage : $(1 + t_1)(1 + t_2) = 1 + t_1 + t_2 + t_1 t_2$ . Le terme $t_1 t_2$ est celui qu'on oublie en additionnant. Il est petit pour de petits taux, d'où l'approximation par la somme, mais il devient important pour de grands taux.³

Comment savoir si un pourcentage est une proportion ou une évolution ?

Demande-toi si le pourcentage compare une partie à un tout au même moment (proportion) ou la même grandeur à deux moments différents (évolution). Les mots « augmente », « baisse », « passe de… à… », « par rapport à l'année dernière » signalent une évolution. Le programme demande justement de faire cette distinction.²

Faut-il connaître la valeur de départ pour calculer un taux global ?

Non. Le coefficient global est le produit des coefficients, et il ne dépend pas de la valeur initiale. Si l'énoncé ne donne pas de valeur de départ, tu peux en choisir une pratique, comme $100$ , pour contrôler ton résultat. La valeur de départ ne sert que si on te demande la valeur finale en euros, en habitants ou en toute autre unité.

Comment calculer l'évolution réciproque rapidement ?

Passe par le coefficient : calcule $CM = 1 + t$ , puis son inverse $\dfrac{1}{CM}$ , puis retire 1. La formule générale est $t' = \dfrac{1}{1+t} - 1$ . Tu peux aussi utiliser la formule du taux d'évolution en intervertissant les valeurs initiale et finale.³ Vérifie toujours que $CM \times CM' = 1$ .

Que faire si la calculatrice donne un résultat avec beaucoup de décimales ?

Garde la valeur exacte le plus longtemps possible, par exemple $\dfrac{5}{3}$ ou $1{,}0815$ , et n'arrondis qu'à la fin, en suivant la consigne (souvent à 0,1 % près ou au centième). Arrondir un coefficient intermédiaire fausse le résultat final.

Sources

Programme visé : Mathématiques - Enseignement scientifique, classe de Première générale · Ministère de l'Éducation nationale (Bulletin officiel)

Mathématiques - Enseignement scientifique, classe de Première générale, Ministère de l'Éducation nationale (Bulletin officiel). Consulté le 6 novembre 2026.
Nombres, proportions et évolutions - Document Éduscol, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Taux d'évolution, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Rappels : proportion et évolution, deux usages du pourcentage

Le coefficient multiplicateur

Évolutions successives : les coefficients se multiplient

Évolution réciproque : revenir à la valeur de départ

Petits taux : des approximations utiles à connaître

Méthodes pour résoudre les problèmes types

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux hausses qui s'enchaînent

Exercice 2 Annuler une hausse

Exercice 3 Hausse puis baisse de même pourcentage

Exercice 4 Prix final après deux évolutions

Exercice 5 Rattraper une forte baisse

Exercice 6 Trois évolutions et petit taux

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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