Proportions et pourcentages : cours de Première

Dans la vie courante, les pourcentages sont partout : une remise en magasin, la part d'une population qui vote, la composition d'un mélange, le taux de réussite à un examen. Pourtant, beaucoup d'erreurs viennent d'une seule confusion : on ne sait plus de quel ensemble on parle. Ce cours te donne un outil simple et précis pour ne plus te tromper.

Le programme de Première attend que tu saches comparer et combiner des fractions simples, et changer la forme d'écriture d'un nombre : décimal, fraction ou pourcentage ¹. Il veut aussi que tu saches calculer, employer et formuler une proportion sous ces trois formes, puis t'en servir pour retrouver la partie à partir du tout, ou l'inverse ¹.

Ces compétences font partie des automatismes visés par l'épreuve anticipée de mathématiques, qui cite explicitement le calcul d'une proportion à côté de la résolution d'une équation, du calcul d'une probabilité et de l'interprétation d'indicateurs statistiques ⁴. Autrement dit, ce chapitre ne sert pas seulement à comprendre le monde : il rapporte des points.

Le plan est le suivant. On commence par définir une proportion, puis le pourcentage. On apprend à passer d'une écriture à l'autre, à calculer une proportion, une partie ou un tout, à appliquer un pourcentage, à composer deux proportions, puis à repérer les pièges les plus fréquents. On termine par un regard vers les évolutions, que tu retrouveras dans le chapitre suivant.

Imagine une classe de 30 élèves dont 12 jouent d'un instrument de musique. Les 12 élèves musiciens forment une partie de la classe. Les 30 élèves forment le tout, qu'on appelle aussi l'ensemble de référence. Pour dire « quelle part de la classe » joue d'un instrument, on compare la partie au tout.

La proportionnalité scolaire fournit des procédures que tu connais depuis le collège : utiliser le coefficient de proportionnalité, passer par l'unité, ou appliquer les propriétés d'additivité et d'homogénéité ²³. Ces méthodes restent valables ici. Un pourcentage est en fait un coefficient de proportionnalité écrit d'une manière particulière : le tout est ramené à 100.

Le signe « % » se lit « pour cent ». On peut aussi trouver la notation « /100 » ⁵. Ce signe rappelle que le nombre est un rapport ramené à une population de 100 : dire « 40 % » revient à dire « 40 sur 100 », quelle que soit la taille réelle du groupe.

Une même proportion peut s'écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Savoir passer de l'une à l'autre est une compétence explicitement attendue en Première ¹. Voici les chemins à maîtriser.

Une seule relation, $p = \frac{\text{partie}}{\text{tout}}$, donne des problèmes de formes différentes selon l'inconnue. Le programme retient ces situations : trouver la proportion, trouver la partie à partir du tout, trouver le tout à partir de la partie ¹.

Dès le cycle 4, les élèves rencontrent des situations où il faut employer un pourcentage, comme appliquer une TVA à un prix, ou en déterminer un, comme traduire une proportion en pourcentage ³. En Première, on les retrouve dans des contextes variés : réductions, parts de marché, résultats d'enquêtes, concentrations.

Que signifie « 25 % de 36 % » ? C'est une proportion calculée dans un sous-ensemble, lui-même une proportion d'un ensemble plus grand. Le résultat, lui, est une proportion de l'ensemble de départ.

Les pourcentages sont trompeurs parce qu'ils cachent le tout auquel ils se rapportent. Voici les erreurs que l'on retrouve le plus souvent, avec le moyen de s'en protéger.

Le programme de Première prolonge les proportions par les évolutions : il demande de calculer un taux d'évolution, de l'exprimer en pourcentage, et de calculer le taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ¹. Les évolutions successives sont traitées dans le chapitre suivant ; ici, nous posons seulement la première brique.