Suites arithmétiques et croissance linéaire : cours de 1re

Beaucoup de phénomènes se mesurent à intervalles réguliers : le solde d'un compte à la fin de chaque année, le nombre d'abonnés au début de chaque mois, la hauteur d'une plante chaque semaine. À chaque étape, on obtient un nombre. L'ensemble de ces nombres, rangés dans l'ordre, forme une suite. On dit que l'évolution est discrète, parce qu'on ne regarde que certains instants et non l'écoulement continu du temps.

Le programme d'enseignement scientifique demande de modéliser ces évolutions par deux grands types de croissance : la croissance linéaire et la croissance exponentielle ¹. Dans ce cours, tu étudies la première. Elle correspond aux suites arithmétiques. La seconde, liée aux suites géométriques, vient juste après et fait l'objet d'un autre cours.

L'idée est très simple. Quand une grandeur augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape, la croissance est linéaire. Le but de ce chapitre est de te donner les outils pour décrire une telle évolution, calculer n'importe quel terme sans tout recalculer étape par étape, et savoir dire si un modèle linéaire est pertinent.

Prenons un exemple. Tu as 20 € sur ta carte de cantine et tu y ajoutes 5 € chaque semaine. Après 0, 1, 2, 3 semaines, tu as 20, 25, 30, 35 €. D'un terme au suivant, on ajoute toujours 5. Voilà exactement ce que décrit une suite arithmétique.

Une propriété importante découle de la définition : une suite arithmétique est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison ⁴. Si on te donne $u_0=3$ et $r=4$, tu peux écrire toute la suite : $3, 7, 11, 15, \ldots$ Il n'y a rien d'autre à savoir.

Souvent, on ne te dit pas qu'une suite est arithmétique : c'est à toi de le vérifier. La définition donne directement le test. Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même.

Avec la relation de récurrence, pour trouver $u_{50}$ il faudrait calculer les 50 termes précédents, l'un après l'autre. C'est long. Il existe une formule directe : les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul de leurs termes ⁴. La voici.

Dire qu'une suite est croissante signifie que ses termes augmentent (ou restent égaux) quand le rang augmente. Pour une suite arithmétique, le signe de la raison décide de tout, car $u_{n+1}-u_n=r$.

Pourquoi parle-t-on de croissance « linéaire » ? Parce que le terme général $u_n=u_0+n\times r$ ressemble à l'expression d'une fonction affine $f(x)=r\,x+u_0$. Si on place les points $(n\,;\,u_n)$ dans un repère, ils sont alignés sur une droite. La relation qui décrit une suite arithmétique est la progression arithmétique, ou croissance linéaire ⁴, et une suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine ⁴.

Sur le graphique, la droite correspond à la fonction $f(x)=2x+3$. Les points marqués d'abscisses entières $0, 1, 2, 3$ sont les termes de la suite arithmétique de premier terme $3$ et de raison $2$. La raison est la pente de la droite : à chaque pas de $1$ vers la droite, on monte de $2$.

Un phénomène dont la variation est constante au cours du temps se modélise bien par une suite arithmétique. Un exemple classique est l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples ⁴ : chaque année, on ajoute la même somme, calculée sur le capital de départ.

Le programme invite à comparer les deux modèles de croissance, notamment avec un tableur ¹. Une suite géométrique modélise une croissance ou une décroissance exponentielle, par exemple une population dont la taille double dans un intervalle de temps constant ⁵. Dans le cas linéaire, on ajoute la même quantité ; dans le cas exponentiel, on multiplie par le même nombre.

On peut démontrer que, pour tout entier $n$ et tout réel $t$ positif, $(1+t)^n\ge 1+nt$ ⁵. Cela signifie qu'une suite géométrique de raison $1+t$ et de premier terme $a$ croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison $a\times t$ ⁵. Par exemple avec $a=1\,000$ et $t=0{,}04$ : la suite arithmétique ajoute $40$ à chaque pas, la suite géométrique multiplie par $1{,}04$.

Attention pourtant à la lecture de cette comparaison. En pratique, pour de petites valeurs de $t$ et un nombre raisonnable d'étapes, les deux suites sont presque confondues ⁵. Après $2$ ans, on obtient $1\,080$ avec le modèle linéaire et $1\,000\times1{,}04^2=1\,081{,}60$ avec le modèle exponentiel : l'écart est minime. C'est sur une longue durée que la différence devient spectaculaire.