Suites arithmétiques : exercices corrigés de Première

On applique la relation $u_{n+1}=u_n+3$ ³ : $u_0=5$, $u_1=5+3=8$, $u_2=8+3=11$, $u_3=11+3=14$.

Pour aller de $u_0$ à $u_{10}$, on ajoute dix fois la raison, car il y a dix pas.

On calcule : $u_{10}=5+10\times 3=5+30=35$.

Vérification rapide : les quatre premiers termes augmentent de 3 chacun, ce qui est cohérent avec une raison positive, donc une suite croissante ⁴.

Suite (A) : $11-7=4$, $15-11=4$, $19-15=4$. La différence est constante, la suite semble arithmétique de raison 4.

Suite (B) : $17-20=-3$, $14-17=-3$, $11-14=-3$. Elle semble arithmétique de raison $-3$ ; la raison est négative, donc la suite est décroissante ⁴.

Suite (C) : $4-2=2$, $8-4=4$, $16-8=8$. Les écarts successifs ne sont pas égaux, donc le passage d'un terme au suivant ne se fait pas par une addition constante : (C) n'est pas arithmétique ³. Ici, chaque terme est le double du précédent, ce qui relève d'un autre modèle, étudié ensuite.

Suite (D) : toutes les différences valent 0. La suite est arithmétique de raison 0, elle est constante ⁴.

Réponse à la question 2 : la raison de (A) est $11-7=4$.

Chaque mois, la somme totale augmente de 12 € : $u_{n+1}=u_n+12$. On ajoute toujours la même valeur, donc la suite est arithmétique de raison 12 ³.

On applique la formule : $u_n=40+12n$.

On résout $40+12n>200$, soit $12n>160$, donc $n>\dfrac{160}{12}\approx 13{,}33$.

$n$ est un entier : le plus petit qui convient est $n=14$.

Contrôle : $u_{13}=40+156=196$, qui est inférieur à 200 ; $u_{14}=40+168=208$, qui dépasse 200. La réponse est bien 14 mois.

De $u_3$ à $u_7$, on ajoute la raison $7-3=4$ fois. Donc $u_7=u_3+4r$.

On écrit $33=17+4r$, d'où $4r=16$ et $r=4$.

Pour remonter de $u_3$ à $u_0$, on retire trois fois la raison : $u_0=u_3-3r=17-3\times 4=17-12=5$.

Vérification : $u_0=5$, $u_1=9$, $u_2=13$, $u_3=17$ ; en continuant, $u_4=21$, $u_5=25$, $u_6=29$, $u_7=33$. Tout concorde.

Chaque jour, on retire 15 litres : $v_{n+1}=v_n-15$. La suite est arithmétique de raison $-15$ ³. La raison est négative, donc la suite est décroissante ⁴.

On a $v_n=500-15n$. Pour $n=20$ : $v_{20}=500-15\times 20=500-300=200$ litres.

On résout $500-15n<50$, soit $-15n<-450$, soit $15n>450$ (le sens change quand on multiplie par $-1$), donc $n>30$.

Le plus petit entier strictement supérieur à 30 est 31. Contrôle : $v_{30}=500-450=50$, qui n'est pas strictement inférieur à 50 ; $v_{31}=35$, qui l'est.

Le volume devient strictement inférieur à 50 litres au bout de 31 jours.

Les intérêts valent toujours 60 €, quelle que soit l'année : $c_{n+1}=c_n+60$. C'est bien une suite arithmétique, de premier terme $c_0=2000$ et de raison 60 ³. Ce comportement est typique d'un compte à intérêts simples ⁴.

On en déduit $c_n=2000+60n$.

On résout $2000+60n\geq 3000$, soit $60n\geq 1000$, donc $n\geq \dfrac{1000}{60}\approx 16{,}67$.

Le plus petit entier convenable est 17.

Contrôle : $c_{16}=2000+960=2960$, qui reste en dessous de 3 000 ; $c_{17}=2000+1020=3020$, qui dépasse. Il faut donc 17 ans.

Si les trois nombres sont consécutifs dans une suite arithmétique, la même raison s'ajoute du premier au deuxième, puis du deuxième au troisième ³. On écrit donc l'égalité des deux différences : $(5x-4)-(2x+1)=(4x+9)-(5x-4)$.

On développe chaque membre : à gauche $3x-5$ ; à droite $-x+13$.

On résout $3x-5=-x+13$, soit $4x=18$, donc $x=\dfrac{18}{4}=4{,}5$.

On remplace : $2x+1=10$, $5x-4=18{,}5$, $4x+9=27$.

On contrôle les différences : $18{,}5-10=8{,}5$ et $27-18{,}5=8{,}5$. Les deux sont égales, la raison vaut $8{,}5$.