Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Suites géométriques et croissance exponentielle : cours de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite est géométrique de raison $q$ quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : $u_{n+1}=q\,u_n$ .
Le terme général s'écrit $u_n=u_0\,q^n$ : l'exposant $n$ rend la croissance (ou la décroissance) très rapide à long terme.
Une augmentation de $t\,\%$ revient à multiplier par $1+\frac{t}{100}$ ; une baisse de $t\,\%$ , par $1-\frac{t}{100}$ .
Pour $u_0>0$ : $q>1$ donne une suite croissante, $0<q<1$ une suite décroissante, $q<0$ une suite qui change de signe à chaque terme.
La croissance exponentielle est, en temps discret, une croissance géométrique : la variation est proportionnelle à la quantité.

Introduction : quand une quantité se multiplie

Une bactérie se divise en deux, puis chacune des deux se divise à son tour : on obtient 4, puis 8, puis 16, puis 32 bactéries, et ainsi de suite.³ À chaque étape, on ne ajoute pas le même nombre : on multiplie par le même nombre. C'est exactement la différence avec les suites arithmétiques que tu connais déjà, où l'on ajoute toujours la même quantité et où la croissance est linéaire.

Dans ce cours, tu vas voir comment décrire ce type d'évolution avec une suite, comment calculer n'importe quel terme sans passer par tous les précédents, et pourquoi on parle de croissance exponentielle. Tu retrouveras la même idée dans les intérêts composés d'un compte bancaire, dans la propagation d'une infection ou dans la diffusion d'une vidéo virale.³

Le plan du cours est le suivant : la définition et la raison, le terme général, le sens de variation, les évolutions en pourcentage, puis le lien avec la croissance exponentielle et ses limites. Chaque notion est accompagnée d'un exemple chiffré et des erreurs que l'on rencontre le plus souvent.

Définition d'une suite géométrique

La définition s'appuie sur une relation de récurrence : elle donne le terme suivant à partir du terme précédent.⁴ Pour connaître $u_{10}$ avec cette seule relation, il faudrait calculer $u_1$ , $u_2$ , …, jusqu'à $u_{10}$ . Nous allons voir plus loin une formule bien plus directe.

Le terme général $u_n=u_0\,q^n$

Le terme général d'une suite géométrique est une formule qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$ .⁴ Pour la trouver, il suffit d'écrire les premiers termes et de repérer le motif :

$u_1=q\,u_0$
$u_2=q\,u_1=q^2\,u_0$
$u_3=q\,u_2=q^3\,u_0$

L'exposant de $q$ est toujours égal à l'indice du terme : on multiplie $n$ fois par $q$ pour passer de $u_0$ à $u_n$ .

Démonstration · Pourquoi cette formule est juste

On raisonne en voyant que passer de l'indice $m$ à l'indice $p$ (avec $p>m$ ) revient à appliquer $p-m$ fois la multiplication par $q$ . Donc $u_p=q\times q\times\cdots\times q\times u_m$ avec $p-m$ facteurs $q$ , soit $u_p=q^{\,p-m}\,u_m$ . Le cas $m=0$ donne $u_n=q^n u_0$ .

Repérer $u_0$Lire la valeur de départ dans l'énoncé.
Trouver $q$Quotient de deux termes ou coefficient multiplicateur.
Écrire $u_n$Poser $u_n = u_0 \times q^n$.
CalculerRemplacer $n$, puis interpréter le résultat.

Les étapes pour exploiter une suite géométrique · Méthode pour passer d'un énoncé à un résultat.

Sens de variation et comportement de la suite

Pour une suite arithmétique de raison $r>0$ , la suite est strictement croissante.¹ Pour une suite géométrique, le sens de variation dépend de deux éléments : la raison $q$ et le signe du premier terme $u_0$ . Regardons pourquoi.

Démonstration · Étude de $u_{n+1}-u_n$

On calcule la différence de deux termes consécutifs :

$u_{n+1}-u_n=q\,u_n-u_n=u_n\,(q-1)=u_0\,q^n\,(q-1).$

Supposons $u_0>0$ et $q>0$ . Alors $u_0\,q^n>0$ , et le signe de la différence est celui de $q-1$ :

si $q>1$ , la différence est positive : la suite est croissante ;
si $0<q<1$ , elle est négative : la suite est décroissante ;
si $q=1$ , elle est nulle : la suite est constante.

Si $u_0<0$ (avec $q>0$ ), tous les signes s'inversent.

Variation selon la raison (premier terme positif)
Raison q	Comportement	Exemple (u0 = 2)
q > 1	Croissante	2 ; 6 ; 18 ; 54
0 < q < 1	Décroissante	2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25
q = 1	Constante	2 ; 2 ; 2 ; 2
q < 0	Signes alternés	2 ; -6 ; 18 ; -54

Variation selon la raison (premier terme positif) · Cas où u0 est strictement positif.

Évolutions en pourcentage et coefficient multiplicateur

Les suites géométriques sont l'outil naturel pour les évolutions en pourcentage répétées. Elles interviennent notamment dans l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés.⁴ Le lien tient en une phrase : augmenter de $t\,\%$ , c'est multiplier par un nombre.

Croissance exponentielle : de la suite au phénomène

Quand le temps est discret (jour 0, jour 1, jour 2, …), on parle de croissance géométrique, car les valeurs forment une progression géométrique.³ Une suite géométrique est donc l'équivalent discret d'une fonction exponentielle.⁴ Si la raison est supérieure à $1$ , on a une croissance exponentielle ; si elle est comprise entre $0$ et $1$ , on a une décroissance exponentielle.³

Le lien se voit directement avec la relation de récurrence. Dire que $u_{n+1}=q\,u_n$ , c'est dire que la variation $u_{n+1}-u_n=(q-1)\,u_n$ est proportionnelle à $u_n$ . Dans l'exemple d'une évolution de $10\,\%$ par période, on a $u_{n+1}-u_n=0{,}1\,u_n$ : on retrouve la proportionnalité entre la variation et la quantité.²

Méthode complète et exemples rédigés

ExempleExemple rédigé : trouver le moment où un seuil est dépassé

Avec $u_n=500\times 2^n$ , on cherche à partir de quelle heure l'effectif dépasse $10\,000$ . On teste :

$n$	$2^n$	$u_n$
4	16	8 000
5	32	16 000

Le seuil est dépassé dès $n=5$ . Au niveau de la classe de première, ce type de seuil se cherche par essais successifs à la calculatrice ou au tableur.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme d'une suite géométrique

★☆☆Environ 5 min

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=3$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
Donne l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_4$ .

Indice 1

Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par la raison.

Indice 2

Le terme général est $u_0\times q^n$ .

Voir la correction pas à pas

On multiplie par $3$ à chaque étape : $u_1=5\times 3=15$ , $u_2=15\times 3=45$ , $u_3=45\times 3=135$ .
Le terme général est $u_n=u_0\,q^n$ , donc $u_n=5\times 3^n$ .
On remplace $n$ par $4$ : $u_4=5\times 3^4=5\times 81=405$ .
On vérifie avec la récurrence : $u_4=3\times u_3=3\times 135=405$ . Les deux méthodes concordent.

On a $u_4=405$ . La formule directe évite d'enchaîner les calculs quand $n$ est grand.

Exercice 2 Un capital qui augmente de 4 % par an

★★☆Environ 10 min

On place $2000$ € à intérêts composés au taux de $4\,\%$ par an. On note $u_n$ le capital après $n$ années, avec $u_0=2000$ .

Détermine le coefficient multiplicateur et la nature de la suite.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule le capital au bout de $10$ ans, arrondi au centime.

Indice 1

Une hausse de $4\,\%$ correspond à $1+\frac{4}{100}$ .

Indice 2

Utilise la calculatrice avec la touche puissance pour $1{,}04^{10}$ .

Voir la correction pas à pas

Le coefficient multiplicateur d'une hausse de $4\,\%$ est $1+\frac{4}{100}=1{,}04$ .
Chaque année, on multiplie par $1{,}04$ : la suite est géométrique de raison $q=1{,}04$ et de premier terme $2000$ .
Le terme général est $u_n=2000\times 1{,}04^n$ .
Pour $n=10$ : $u_{10}=2000\times 1{,}04^{10}\approx 2000\times 1{,}4802\approx 2960{,}49$ €.

Au bout de $10$ ans, le capital est d'environ $2960{,}49$ €. Une croissance linéaire de $4\,\%$ du capital initial ( $80$ € par an) aurait donné seulement $2800$ € : l'effet des intérêts composés se voit.

Exercice 3 Retrouver le premier terme

★★★Environ 12 min

Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes positifs telle que $u_2=12$ et $u_5=96$ .

Exprime $u_5$ en fonction de $u_2$ et de $q$ .
En déduis la raison $q$ .
Calcule $u_0$ .

Indice 1

Entre l'indice $2$ et l'indice $5$ , on multiplie trois fois par $q$ .

Indice 2

Pour trouver $u_0$ , utilise $u_2=u_0\,q^2$ .

Voir la correction pas à pas

De l'indice $2$ à l'indice $5$ , il y a $3$ multiplications par $q$ : $u_5=u_2\times q^3$ .
On remplace : $96=12\,q^3$ , donc $q^3=8$ .
Comme $2^3=8$ et que les termes sont positifs, $q=2$ .
On utilise $u_2=u_0\,q^2$ : $12=u_0\times 4$ , donc $u_0=3$ .
Vérification : $u_5=3\times 2^5=96$ . C'est cohérent.

La suite est géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=3$ . L'écart des indices donne l'exposant à utiliser.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule la différence $u_{n+1}-u_n$ et le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ sur plusieurs termes. Si la différence est constante, la suite est arithmétique : on ajoute toujours le même nombre. Si le quotient est constant (termes non nuls), elle est géométrique.¹ Pour une preuve, il faut le démontrer pour tout $n$ par un calcul littéral, pas seulement sur les premiers termes.

La raison d'une suite géométrique peut-elle être négative ou nulle ?

Une raison négative est possible : avec $u_0=2$ et $q=-3$ , on obtient $2$ , $-6$ , $18$ , $-54$ .¹ Les signes alternent, donc la suite n'est ni croissante ni décroissante. Avec $q=0$ , tous les termes sont nuls à partir du rang $1$ , ce cas n'a pas d'intérêt pour modéliser une évolution.

Quelle est la différence entre croissance géométrique et croissance exponentielle ?

C'est la même idée, selon que le temps est discret ou continu. Avec des intervalles de temps égaux (jour 1, jour 2, …), on parle de croissance géométrique car les valeurs forment une progression géométrique.³ Pour un phénomène continu, on utilise une fonction exponentielle.³ La suite géométrique est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.⁴

Pourquoi dit-on que la croissance exponentielle est lente au début ?

Parce que la variation est proportionnelle à la quantité : quand la quantité est petite, la variation l'est aussi. Un phénomène exponentiel démarre donc plutôt doucement.³ Par exemple, $100\times 1{,}02^n$ n'augmente que d'environ $22$ unités en $10$ périodes, mais la variation grandit à chaque période.

Comment passer d'un pourcentage d'évolution à la raison ?

Pour une hausse de $t\,\%$ , on prend $q=1+\frac{t}{100}$ ; pour une baisse, $q=1-\frac{t}{100}$ . Une hausse de $5\,\%$ donne donc $q=1{,}05$ et une baisse de $5\,\%$ donne $q=0{,}95$ . Si l'évolution est identique à chaque période, le résultat est une suite géométrique.

Sources

Suites arithmétiques et géométriques - Cours Première Spécialité, CNRS - Université Paris-Saclay. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonctions exponentielles - Introductions et applications, Académie de Strasbourg. Consulté le 6 novembre 2026.
Croissance exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Suite géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Suites géométriques et croissance exponentielle : cours de 1re

L'essentiel

Introduction : quand une quantité se multiplie

Définition d'une suite géométrique

Le terme général $u_n=u_0\,q^n$

Sens de variation et comportement de la suite

Évolutions en pourcentage et coefficient multiplicateur

Croissance exponentielle : de la suite au phénomène

Méthode complète et exemples rédigés

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme d'une suite géométrique

Exercice 2 Un capital qui augmente de 4 % par an

Exercice 3 Retrouver le premier terme

Quiz

Les questions qu'on se pose

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