Suites géométriques et croissance exponentielle : exercices de 1re

On multiplie par la raison : $u_1=5\times 3=15$.

Puis $u_2=15\times 3=45$.

Puis $u_3=45\times 3=135$.

Avec la formule : $u_3=u_0\times q^3=5\times 3^3=5\times 27=135$. Les deux méthodes donnent le même résultat.

On calcule les quotients : $\frac{12}{4}=3$, $\frac{36}{12}=3$, $\frac{108}{36}=3$.

Les trois quotients sont égaux : on peut supposer que la suite est géométrique de raison $q=3$ ¹. (Trois quotients égaux ne prouvent rien pour tous les termes ; ici, l'énoncé décrit la suite par ses premiers termes seulement.)

On écrit le terme général : $u_n=4\times 3^n$.

On calcule $u_5=4\times 3^5=4\times 243=972$.

En une heure, chaque bactérie devient deux bactéries : le total est multiplié par $2$. On a donc $b_{n+1}=2\times b_n$, ce qui définit une suite géométrique de raison $q=2$ ⁴.

Le premier terme est $b_0=500$, donc $b_n=500\times 2^n$.

Pour $n=6$ : $b_6=500\times 2^6=500\times 64=32\,000$.

Augmenter de $3\,\%$ revient à multiplier par $1+\frac{3}{100}=1{,}03$.

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : $C_{n+1}=1{,}03\times C_n$. La suite est donc géométrique de raison $q=1{,}03$ et de premier terme $C_0=2\,000$ ⁴.

Le terme général est $C_n=2\,000\times 1{,}03^n$.

Pour $n=10$ : $C_{10}=2\,000\times 1{,}03^{10}\approx 2\,000\times 1{,}3439\approx 2\,687{,}83$ €.

Une baisse de $15\,\%$ revient à multiplier par $1-0{,}15=0{,}85$.

On a $V_{n+1}=0{,}85\times V_n$ : la suite est géométrique de raison $q=0{,}85$ et de premier terme $V_0=18\,000$. Comme $V_0>0$ et que $q$ est inférieur à $1$, chaque terme est plus petit que le précédent : la suite est décroissante. On parle de décroissance géométrique en temps discret ³.

Le terme général est $V_n=18\,000\times 0{,}85^n$.

Pour $n=4$ : $0{,}85^4=0{,}52200625$, donc $V_4=18\,000\times 0{,}52200625\approx 9\,396{,}11$ €.

On a $u_{n+1}=2\times 3^{n+1}=2\times 3^n\times 3$.

Tous les termes sont non nuls, donc $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2\times 3^n\times 3}{2\times 3^n}=3$.

Le quotient est constant et égal à $3$ : la suite est géométrique de raison $q=3$ ¹. Son premier terme est $u_0=2\times 3^0=2$.

Comme $u_0=2>0$ et $q=3>1$, la suite est croissante ¹.

Enfin $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$.

Pour passer de $u_2$ à $u_5$, on multiplie trois fois par $q$ : $u_5=u_2\times q^3$.

On obtient $96=12\times q^3$, donc $q^3=\frac{96}{12}=8$.

Les termes sont positifs, donc $q>0$ et $q=\sqrt[3]{8}=2$.

Comme $u_2=u_0\times q^2$, on a $12=u_0\times 4$, donc $u_0=3$.

Le coefficient mensuel est $1{,}1$, donc en $5$ mois le coefficient global est $1{,}1^5=1{,}61051$.

Le taux d'évolution global vaut $(1{,}61051-1)\times 100=61{,}051\,\%$, soit environ $61{,}05\,\%$.

L'élève additionne les pourcentages alors qu'il faut multiplier les coefficients : chaque hausse de $10\,\%$ s'applique à un nombre d'abonnés déjà augmenté, donc elle ajoute plus que la précédente.

On calcule $C_{14}=1\,000\times 1{,}05^{14}\approx 1\,979{,}93$ € : le capital n'a pas encore doublé.

On calcule $C_{15}=1\,000\times 1{,}05^{15}\approx 2\,078{,}93$ € : le capital dépasse $2\,000$ €.

Comme la suite est croissante ($C_0>0$ et $q=1{,}05>1$) ¹, le premier rang pour lequel $C_n\geqslant 2\,000$ est $n=15$.

Diviser $100$ par $5$ donne $20$ ans, ce qui correspondrait à des intérêts simples ($+50$ € par an). Avec des intérêts composés, les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts : le doublement arrive plus tôt, ici en $15$ ans.