Contre-exemple et raisonnement par l'absurde : fiche de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour réfuter une proposition du type « pour tout x… », un seul contre-exemple suffit.1
Un ou plusieurs exemples qui marchent ne prouvent jamais une proposition universelle.1
Raisonner par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer, on aboutit à une contradiction, donc le contraire est faux.5
Méthode type : nier la proposition, déduire, repérer l'impossibilité, conclure.
Application classique : montrer qu'un nombre n'est pas rationnel, à partir de la définition d'un rationnel comme quotient de deux entiers.2
Le contre-exemple : réfuter en un seul cas
Le raisonnement par l'absurde : le principe
Application : un nombre qui n'est pas rationnel
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Un seul contre-exemple suffit à infirmer une proposition universelle, par exemple x=0,5 car 0,25<0,5.1 Vérifier des cas qui marchent ne réfute rien, et démontrer l'affirmation pour les seuls entiers ne dit rien des autres réels : ces choix sont des pièges.
Faux : des exemples, même nombreux, ne démontrent pas une proposition universelle, alors qu'un seul contre-exemple la réfute.1 Il faut une démonstration valable pour tous les cas.
On suppose le contraire de ce que l'on veut établir, donc « 2 est rationnel », puis on cherche une contradiction.5 Supposer la proposition elle-même (premier choix) ne mène à aucune contradiction.
La contradiction invalide la supposition (la négation de la proposition), ce qui établit la proposition de départ.5 Conclure que le calcul est faux est une confusion tentante, mais les calculs étaient corrects.
Les questions qu'on se pose
Un contre-exemple peut-il démontrer qu'une propriété est vraie ?
Non. Il sert uniquement à réfuter une proposition universelle.1 Pour prouver qu'elle est vraie, il faut un raisonnement valable pour tous les cas.
Comment savoir si je dois raisonner par l'absurde ?
Pense-y quand on te demande de montrer qu'un objet n'existe pas ou qu'un nombre n'est pas d'un certain type (par exemple non rationnel). La négation donne alors une hypothèse concrète à exploiter, comme l'écriture en quotient de deux entiers.2 Si une preuve directe est possible, elle est préférable.5
Que faut-il écrire pour que la rédaction soit complète ?
Quatre éléments : « Supposons par l'absurde que… » avec la négation exacte, les déductions, la contradiction nommée clairement, puis la conclusion qui dit quelle proposition est vraie.