Dérivation et variations : cours de Terminale technologique

Observer une courbe permet de deviner où une fonction monte et où elle descend. Mais une courbe dessinée à la main reste approximative, et parfois on ne dispose même d'aucun dessin : seulement d'une formule. La dérivation est l'outil qui remplace le coup d'œil par un calcul fiable.

Dans ce chapitre, tu vas retrouver le lien entre trois idées : le taux de variation, le nombre dérivé et le sens de variation. Ce lien est un objectif explicite d'activités proposées en classe de première. ³ Il sert ensuite à résoudre des problèmes concrets : trouver le moment où un bénéfice est maximal, où une quantité est minimale, ou simplement décrire l'évolution d'un phénomène.

À l'examen, on te demande très souvent de dresser un tableau de variations à partir de la dérivée, ou de retrouver ce tableau en étudiant le signe de f′(x). Un sujet zéro du baccalauréat technologique propose justement de compléter un tableau de variation avec le graphique, puis de l'obtenir par l'étude du signe de la dérivée. ²

Prenons une fonction f et deux valeurs de x : a et a + h, où h est un petit nombre non nul. Quand x passe de a à a + h, la valeur de f passe de f(a) à f(a + h). Pour savoir à quelle vitesse la fonction a changé, on compare cette variation de f à la variation de x.

Sur un graphique, ce quotient a une lecture géométrique simple : c'est la pente de la sécante, c'est-à-dire de la droite qui passe par deux points distincts de la courbe. ⁴ Si le taux est positif, la sécante monte : entre ces deux points, la fonction a globalement augmenté. S'il est négatif, la sécante descend.

Un taux de variation dépend de h. Si on prend h de plus en plus proche de 0, les deux points de la sécante se rapprochent, et le taux se stabilise autour d'une valeur. Avec un tableur ou un curseur, on voit ce nombre apparaître progressivement quand h tend vers zéro. ³

Un nombre dérivé est un nombre, alors que la fonction dérivée f′ associe à chaque x le nombre dérivé f′(x). Cette distinction est précieuse : pour étudier les variations, on a besoin de f′(x) pour tous les x d'un intervalle, pas seulement d'un point.

Voici le cœur du chapitre. Le nombre dérivé mesure la façon dont f évolue autour d'un point. S'il est positif, f monte ; s'il est négatif, f descend. Cette idée devient un énoncé précis.

Cet énoncé figure dans la progression de première STI2D, qui demande de lier le sens de variation d'une fonction et le signe de sa dérivée. ⁴ Une autre situation des ressources d'accompagnement, la courbe d'indice de masse corporelle d'un enfant, permet d'aborder le cas d'un nombre dérivé négatif et de comparer son signe avec les variations. ¹

Dans ce tableau, une flèche montante vers la droite indique que la fonction croît, une flèche descendante qu'elle décroît, et une flèche horizontale qu'elle est constante. En mettant les flèches les unes à la suite des autres, on obtient l'allure de la courbe. ⁶

Un tableau complet comporte :

1. une ligne pour x, avec les bornes de l'intervalle et les valeurs où f′ change de signe ;
2. une ligne pour le signe de f′(x) ;
3. une ligne pour f, avec les flèches et les valeurs de f aux bornes et aux points particuliers.

Un extremum est un maximum ou un minimum. Pour une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, le programme attend que tu saches déterminer le sens de variation et les extremums. ⁴ Le plus souvent, la dérivée s'annule en changeant de signe là où se trouve l'extremum.

Les épreuves proposent souvent de passer d'un graphique à un tableau, puis du calcul au tableau. Dans le sujet zéro, on demande de compléter un tableau de variation avec le graphique, puis de l'obtenir par l'étude du signe de la dérivée. ² Les deux démarches doivent donner le même résultat : c'est un excellent moyen de vérifier ton travail.