Dérivation et variations : exercices corrigés de Terminale techno

On dérive : $f'(x)=2x-4$.

On résout $f'(x)=0$ : $2x-4=0$ donne $x=2$.

$f'(x)>0$ équivaut à $x>2$. Donc $f'$ est négative sur $]-\infty\,;2]$ et positive sur $[2\,;+\infty[$.

On en déduit : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ puis croissante sur $[2\,;+\infty[$.

On calcule $f(2)=2^2-4\times 2+1=4-8+1=-3$. C'est le minimum de $f$.

On a $f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2$ et $f(3)=9$.

Donc $f(3+h)-f(3)=6h+h^2$, puis le taux vaut $\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h$.

Pour $h=0{,}1$ : le taux vaut $6{,}1$.

Quand $h$ se rapproche de $0$, $6+h$ se rapproche de $6$. Le nombre dérivé étant la limite du taux de variation,⁵ on obtient $f'(3)=6$.

Vérification avec la formule : $f'(x)=2x$ donne $f'(3)=2\times 3=6$.

$f(3)=9-12+1=-2$.

$f'(x)=2x-4$, donc $f'(3)=6-4=2$.

On applique $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ : $y=2(x-3)-2$.

On développe : $y=2x-6-2=2x-8$.

L'ordonnée à l'origine est donc $-8$.

$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)$. Les racines de $x^2-2x-3$ sont $-1$ et $3$ (car $(-1)+3=2$ et $(-1)\times 3=-3$), donc $f'(x)=3(x+1)(x-3)$.

Signe de $f'$ : positive sur $[-2\,;-1]$, négative sur $[-1\,;3]$, positive sur $[3\,;6]$.

Variations : $f$ croissante sur $[-2\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;3]$, croissante sur $[3\,;6]$.

Valeurs utiles : $f(-2)=-8-12+18+2=0$ ; $f(-1)=-1-3+9+2=7$ ; $f(3)=27-27-27+2=-25$ ; $f(6)=216-108-54+2=56$.

Le minimum est la plus petite de ces valeurs : $-25$, atteint en $x=3$.

$B'(x)=-4x+40$.

$B'(x)=0$ donne $x=10$. $B'(x)>0$ équivaut à $x<10$ : $B'$ est positive sur $[0\,;10]$ et négative sur $[10\,;20]$.

$B$ est croissante sur $[0\,;10]$, puis décroissante sur $[10\,;20]$.

Images : $B(0)=-100$ ; $B(10)=-200+400-100=100$ ; $B(20)=-800+800-100=-100$.

Le maximum est atteint pour $x=10$ et vaut $100$ centaines d'euros.

$h'(t)=-10t+20$.

$h'(t)=0$ donne $t=2$. $h'(t)>0$ équivaut à $t<2$.

$h$ est croissante sur $[0\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;4]$.

On calcule $h(2)=-5\times 4+40+1=-20+41=21$.

Contrôle aux bornes : $h(0)=1$ et $h(4)=-80+80+1=1$, donc $21$ est bien le maximum.

$-(x-3)(x+2)=-(x^2-x-6)=-x^2+x+6$ : la factorisation est exacte.

Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc $f'$ est positive entre les racines $-2$ et $3$, négative à l'extérieur.

Tableau : $f$ décroissante sur $[-3\,;-2]$ (de $2$ à $-1$), croissante sur $[-2\,;3]$ (de $-1$ à $10$), décroissante sur $[3\,;4]$ (de $10$ à $7$).

Sur $[-3\,;-2]$, $f$ varie de $2$ à $-1$ : elle ne prend jamais la valeur $5$.

Sur $[-2\,;3]$, $f$ est dérivable et strictement croissante, de $-1$ à $10$ : sa courbe passe une seule fois à la hauteur $5$, donc elle prend la valeur $5$ une seule fois.

Sur $[3\,;4]$, $f$ varie de $10$ à $7$ : elle reste au-dessus de $7$, donc ne vaut jamais $5$. Au total, une seule solution.

$f'(x)=3x^2+2ax-12$.

Tangente horizontale en $1$ : $f'(1)=0$, soit $3+2a-12=0$.

On obtient $2a=9$, donc $a=4{,}5$.

Avec $a=4{,}5$ : $f'(x)=3x^2+9x-12=3(x^2+3x-4)=3(x+4)(x-1)$.

Le coefficient de $x^2$ est positif : $f'$ est positive sur $]-\infty\,;-4]$, négative sur $[-4\,;1]$, positive sur $[1\,;+\infty[$.

Donc $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante. Le point d'abscisse $1$ est un minimum local, avec $f(1)=1+4{,}5-12+1=-5{,}5$.