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Fonction logarithme décimal : cours de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le logarithme décimal de $b>0$ , noté $\log(b)$ , est l'unique solution de l'équation $10^x=b$ .²
$\log(1)=0$ , $\log(10)=1$ et $\log(10^n)=n$ ; la fonction $\log$ est croissante et n'est définie que pour les réels strictement positifs.³
Elle transforme un produit en somme : $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ , d'où $\log(a^n)=n\log(a)$ et $\log\left(\frac1a\right)=-\log(a)$ .³
Pour résoudre $a^x=b$ (avec $a>0$ , $a\neq1$ , $b>0$ ) : $x=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}$ . Pour $a^n<b$ : on passe au logarithme et on regarde le signe de $\log(a)$ .¹
La partie entière de $\log(x)$ donne la puissance de dix de l'écriture scientifique : c'est l'ordre de grandeur de $x$ .³

Pourquoi un nouvel outil pour résoudre 10^x = b ?

Tu sais déjà résoudre des équations simples comme $10^x=1000$ : il suffit de reconnaître que $1000=10^3$ , donc $x=3$ . Mais que faire avec $10^x=250$ ? Aucune puissance entière de 10 ne donne 250. Tu sens que $x$ se trouve entre 2 et 3, puisque $10^2=100$ et $10^3=1000$ , sans pouvoir donner sa valeur précise.

Le logarithme décimal répond exactement à ce besoin. Il donne un nom, et une touche de calculatrice, à ce nombre $x$ que l'on cherchait. Le programme de Terminale technologique l'introduit pour traiter des situations d'évolution dont la durée n'est pas entière, par exemple : au bout de combien d'années un capital a-t-il doublé ?²

Dans ce cours, tu vas :

définir le logarithme décimal à partir de l'équation $10^x=b$ ;
découvrir ses valeurs remarquables et son sens de variation ;
utiliser ses propriétés algébriques pour transformer des expressions ;
résoudre des équations $a^x=b$ et $x^a=b$ , puis des inéquations $a^n<b$ ;
obtenir l'ordre de grandeur d'un nombre grâce à son logarithme.

Tu t'appuies sur deux notions déjà vues : les fonctions exponentielles de base $q$ (par exemple $x\mapsto 10^x$ ) et la fonction inverse.

Définition du logarithme décimal

La fonction $b\mapsto\log(b)$ est donc définie pour tout réel strictement positif.³ Elle est la fonction réciproque de la fonction $x\mapsto10^x$ : l'une défait ce que fait l'autre.³

Cela donne deux égalités à connaître par cœur :

$10^{\log(b)}=b\quad\text{pour tout } b>0,\qquad \log\left(10^{x}\right)=x\quad\text{pour tout réel } x.$

Valeurs remarquables du logarithme décimal
Nombre $b$	Écriture en puissance de 10	$\log(b)$
0,001	10^(-3)	-3
0,01	10^(-2)	-2
0,1	10^(-1)	-1
1	10^0	0
10	10^1	1
100	10^2	2
1000	10^3	3

Valeurs remarquables du logarithme décimal · Pour une puissance de 10, le logarithme est l'exposant.

Valeurs remarquables et sens de variation

La fonction logarithme décimal est croissante sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ .³ Cela veut dire que, si $0<a<b$ , alors $\log(a)<\log(b)$ . Plus un nombre est grand, plus son logarithme est grand, mais la croissance est lente : pour passer de $\log=2$ à $\log=3$ , il faut multiplier le nombre par 10.

Les propriétés algébriques du logarithme décimal

Le grand intérêt du logarithme est de ramener des opérations compliquées à des opérations plus simples. La fonction logarithme décimal transforme un produit en somme.³ Cette propriété est la clé de toutes les autres.

Démonstration · Pourquoi ces formules sont vraies

On part de la seule propriété du produit : $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ .³

Logarithme d'un inverse. On a $a\times\frac1a=1$ . Donc $\log(a)+\log\left(\frac1a\right)=\log(1)=0$ , d'où $\log\left(\frac1a\right)=-\log(a)$ .

Logarithme d'un quotient. On écrit $\frac ab=a\times\frac1b$ . Alors $\log\left(\frac ab\right)=\log(a)+\log\left(\frac1b\right)=\log(a)-\log(b)$ .

Logarithme d'une puissance (entier $n\geq1$ ). On écrit $a^n=a\times a\times\dots\times a$ avec $n$ facteurs. En appliquant $n-1$ fois la propriété du produit, on obtient $\log(a^n)=\log(a)+\dots+\log(a)$ , avec $n$ termes, soit $n\log(a)$ . Pour un exposant négatif, on passe par l'inverse : $a^{-n}=\frac1{a^n}$ , donc $\log(a^{-n})=-n\log(a)$ .

Résoudre une équation a^x = b ou x^a = b

Le programme demande d'utiliser le logarithme décimal pour résoudre une équation du type $a^x=b$ ou $x^a=b$ .² Dans les deux cas, on applique $\log$ aux deux membres. Comme deux nombres égaux ont le même logarithme, l'égalité est conservée.

Vérifiera > 0, a ≠ 1 et b > 0
Passer au loglog(a^x) = log(b)
Sortir l'exposantx · log(a) = log(b)
Isoler xx = log(b) / log(a)

Résoudre a^x = b avec le logarithme · Méthode pour une inconnue en exposant.

Résoudre une inéquation a^n < b

Le programme prévoit aussi des inéquations de la forme $a^n<b$ , avec une inconnue $n$ entière naturelle.¹ Ce type de question sert à répondre à : « à partir de quel rang dépasse-t-on tel seuil ? » ou « au bout de combien de périodes a-t-on doublé ? ». Comme la fonction $\log$ est croissante, elle conserve l'ordre : si $u<v$ alors $\log(u)<\log(v)$ .³

ExempleUn capital qui double

Un capital placé augmente de $5\ \%$ par an. Au bout de $n$ années, il est multiplié par $1{,}05^n$ . On cherche la première année où le capital au moins double, soit $1{,}05^n\geq2$ .

On applique $\log$ : $n\log(1{,}05)\geq\log(2)$ . Comme $1{,}05>1$ , $\log(1{,}05)>0$ et on divise sans changer le sens : $n\geq\dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)}\approx14{,}2$ .

L'inconnue $n$ est entière : le plus petit entier qui convient est $n=15$ . Le capital double donc au bout de 15 ans. Contrôle : $1{,}05^{14}\approx1{,}98$ (pas encore doublé) et $1{,}05^{15}\approx2{,}08$ .

Ordre de grandeur et écriture scientifique

Un nombre strictement positif se résume souvent par son ordre de grandeur, et son logarithme décimal permet de le lire directement.² Retiens l'idée : $\log(x)$ indique « à peu près combien de zéros » comporte le nombre.

Repère logarithmique, histoire et liens avec la suite

Selon le programme, tu peux profiter du logarithme décimal pour tracer des données statistiques ou une fonction sur un repère logarithmique ou semi-logarithmique ; cela concerne surtout les séries STI2D et STL.¹ Sur un tel repère, les graduations successives sont les puissances de 10 : 1, 10, 100, 1 000… Elles sont espacées de la même longueur. On peut ainsi lire sur un même graphique des valeurs très petites et très grandes.

Un peu d'histoire : on parle aussi de logarithmes de Briggs. Ce mathématicien anglais du XVII\textsuperscript{e} siècle, Henry Briggs, a fait publier à Londres en 1624 des tables de logarithmes décimaux.³ Autrefois, on les disait « vulgaires », en opposition aux logarithmes de base $e$ , appelés naturels ou népériens.³

Il y a donc deux logarithmes à bien distinguer. Le logarithme népérien, noté $\ln$ , est la fonction réciproque de l'exponentielle de base $e$ .⁴ Le logarithme décimal, noté $\log$ , est la réciproque de $x\mapsto10^x$ .³ Sur ta calculatrice, ne mélange pas les touches log et ln : $\log(10)=1$ alors que $\ln(10)$ vaut environ $2{,}30$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer sans calculatrice

★☆☆Environ 5 min

Sans calculatrice, calcule $A=\log(1000)+\log(0{,}01)$ .

Indice 1

Écris chaque nombre comme une puissance de 10.

Indice 2

Rappel : $\log(10^n)=n$ pour tout entier relatif $n$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $1000=10^3$ , donc $\log(1000)=3$ .
On écrit $0{,}01=10^{-2}$ , donc $\log(0{,}01)=-2$ .
On additionne : $A=3+(-2)=1$ .
Vérification avec le produit : $\log(1000\times0{,}01)=\log(10)=1$ . On retrouve le même résultat.

$A=1$ . Dès que les nombres sont des puissances de 10, la définition suffit.

Exercice 2 Résoudre une équation avec l'inconnue en exposant

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $3^x=20$ . Donne la valeur de $x$ arrondie à $10^{-3}$ près.

Indice 1

Applique le logarithme décimal aux deux membres.

Indice 2

Utilise $\log(3^x)=x\log(3)$ , puis divise par $\log(3)$ .

Voir la correction pas à pas

Les deux membres sont strictement positifs, on peut appliquer $\log$ : $\log(3^x)=\log(20)$ .
On utilise la propriété de la puissance : $x\log(3)=\log(20)$ .
Comme $3\neq1$ , $\log(3)\neq0$ : on divise, $x=\dfrac{\log(20)}{\log(3)}$ .
À la calculatrice, $\log(20)\approx1{,}3010$ et $\log(3)\approx0{,}4771$ , donc $x\approx2{,}727$ .
Contrôle : $3^2=9<20<27=3^3$ , donc $x$ est bien entre 2 et 3.

La solution est $x=\dfrac{\log(20)}{\log(3)}\approx2{,}727$ .

Exercice 3 Quand le capital double-t-il ?

★★★Environ 12 min

Un capital placé augmente de $5\ \%$ par an. Au bout de $n$ années entières, il est multiplié par $1{,}05^n$ . Détermine le plus petit entier naturel $n$ pour lequel le capital a au moins doublé, c'est-à-dire tel que $1{,}05^n\geq2$ .

Indice 1

Pose l'inéquation $1{,}05^n\geq2$ et applique le logarithme décimal aux deux membres.

Indice 2

Regarde le signe de $\log(1{,}05)$ avant de diviser, puis prends le plus petit entier qui convient.

Voir la correction pas à pas

On doit résoudre $1{,}05^n\geq2$ .
On applique $\log$ , croissante : $n\log(1{,}05)\geq\log(2)$ .
Comme $1{,}05>1$ , on a $\log(1{,}05)>0$ : on divise sans changer le sens, $n\geq\dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)}$ .
À la calculatrice, $\log(2)\approx0{,}30103$ et $\log(1{,}05)\approx0{,}02119$ , donc $\dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)}\approx14{,}2$ .
L'entier $n$ doit être supérieur ou égal à 14,2 : le plus petit entier est $n=15$ .
Contrôle : $1{,}05^{14}\approx1{,}98<2$ et $1{,}05^{15}\approx2{,}08\geq2$ .

Le capital a au moins doublé au bout de 15 ans. L'année 14 ne suffit pas, car $1{,}05^{14}$ reste un peu inférieur à 2.

Exercice 4 Un ordre de grandeur

★★☆Environ 6 min

Un nombre $x$ vérifie $\log(x)=4{,}3$ . Entre quelles puissances de 10 consécutives se situe $x$ ? Donne ensuite la puissance de 10 de son écriture scientifique.

Indice 1

Utilise la partie entière de $\log(x)$ .

Indice 2

$x=10^{4{,}3}=10^{0{,}3}\times10^{4}$ .

Voir la correction pas à pas

Par définition, $x=10^{4{,}3}$ .
On décompose : $x=10^{0{,}3}\times10^4$ .
Comme $0\leq0{,}3<1$ , on a $1\leq10^{0{,}3}<10$ (la fonction $x\mapsto10^x$ est croissante, avec $10^0=1$ et $10^1=10$ ).
L'écriture scientifique est donc $x\approx2{,}0\times10^4$ , de puissance de 10 égale à 4, soit la partie entière de $4{,}3$ .
On en déduit $10^4\leq x<10^5$ .

Le nombre $x$ vaut environ $20\,000$ : il est compris entre $10^4$ et $10^5$ , et sa puissance de dix en écriture scientifique est 4.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre log et ln sur la calculatrice ?

La touche log est le logarithme décimal, de base 10 : $\log(10)=1$ . La touche ln est le logarithme népérien, associé au nombre $e$ : c'est la fonction réciproque de l'exponentielle de base $e$ .⁴ Les deux transforment un produit en somme, mais leurs valeurs diffèrent. En Terminale technologique, c'est la touche log qui sert pour résoudre $a^x=b$ ; une résolution avec ln donnerait le même quotient, mais ce n'est pas l'outil mis en avant ici.

À quoi sert le logarithme décimal concrètement ?

Il sert à trouver un exposant inconnu, par exemple une durée non entière dans une évolution à taux constant.² Il donne aussi l'ordre de grandeur d'un nombre positif.² Enfin, il permet de représenter des données qui s'étalent sur plusieurs puissances de dix dans un repère logarithmique ou semi-logarithmique.¹

Pourquoi change-t-on le sens de l'inégalité quand la base est inférieure à 1 ?

Parce qu'on divise par $\log(a)$ et que ce nombre est négatif quand $0<a<1$ : $\log$ est croissante et $\log(1)=0$ , donc tout nombre plus petit que 1 a un logarithme négatif.³ Diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif change toujours son sens, comme tu le fais déjà avec $-2x<6$ . Un moyen de t'en souvenir : une quantité qui diminue (facteur inférieur à 1) a besoin de plus de périodes pour passer sous un seuil.

Comment vérifier rapidement un résultat de logarithme ?

Encadre-le entre deux puissances de 10. Pour $\log(250)$ : $100<250<1000$ , donc le résultat est compris entre 2 et 3. Si ta calculatrice affiche $2{,}398$ , c'est cohérent. Pour une équation $a^x=b$ , encadre $b$ entre deux puissances entières de $a$ : $3^2=9<20<27=3^3$ donne $2<x<3$ . Ces contrôles de deux lignes repèrent presque toutes les erreurs de touche.

Peut-on écrire log(a + b) = log(a) + log(b) ?

Non. La propriété à connaître concerne les produits : $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ .³ Pour une somme à l'intérieur du logarithme, il n'existe pas de formule simple. Test rapide : avec $a=b=10$ , $\log(20)\approx1{,}301$ alors que $\log(10)+\log(10)=2$ .

Sources

Programme de mathématiques de Terminale technologique (document complet), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Annexe – Programme d'enseignement de mathématiques de Terminale technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Logarithme décimal, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi un nouvel outil pour résoudre 10^x = b ?

Définition du logarithme décimal

Valeurs remarquables et sens de variation

Les propriétés algébriques du logarithme décimal

Résoudre une équation a^x = b ou x^a = b

Résoudre une inéquation a^n < b

Ordre de grandeur et écriture scientifique

Repère logarithmique, histoire et liens avec la suite

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Exercice 1 Calculer sans calculatrice

Exercice 2 Résoudre une équation avec l'inconnue en exposant

Exercice 3 Quand le capital double-t-il ?

Exercice 4 Un ordre de grandeur

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