Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Logarithme décimal : exercices corrigés de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le logarithme décimal de b > 0, noté log b, est l'unique solution de l'équation 10^x = b ².
log(a×b) = log a + log b, et log 10 = 1 : on transforme un produit en somme ³.
Pour résoudre a^x = b (avec a > 0, a ≠ 1 et b > 0), on passe au logarithme : x = log b / log a.
Pour une inéquation a^n < b, on garde le sens si log a > 0, on l'inverse si log a < 0.
log x donne l'ordre de grandeur : sa partie entière est l'exposant de l'écriture scientifique ³.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent la progression du cours sur la fonction logarithme décimal. Ils vont du calcul direct jusqu'aux problèmes où l'on cherche un entier, comme une durée en années. Prends une feuille, cherche seul(e) pendant quelques minutes, puis ouvre les indices. Ne lis la correction qu'après avoir écrit une réponse, même fausse : c'est en comparant que tu repères ton erreur.

MéthodeRésoudre une équation $a^x = b$ ou $x^a = b$

Le programme demande d'utiliser le logarithme décimal pour ces deux types d'équations ².

Vérifie que les deux membres sont strictement positifs.
Applique $\log$ aux deux membres.
Fais sortir l'exposant : pour $a^x=b$ , on obtient $x\log a=\log b$ ; pour $x^a=b$ (avec $x>0$ ), on obtient $a\log x=\log b$ .
Isole l'inconnue : pour $a^x=b$ (avec $a\neq 1$ ), $x=\dfrac{\log b}{\log a}$ ; pour $x^a=b$ , $\log x=\dfrac{\log b}{a}$ , puis $x=10^{\frac{\log b}{a}}$ .

Pour une inéquation du type $a^n<b$ avec $n$ entier naturel ¹, on procède de même en tenant compte du signe de $\log a$ , puis on interprète le résultat. Si l'on obtient $n>$ valeur, le plus petit entier convenable est l'entier immédiatement supérieur à cette valeur. Si l'on obtient $n<$ valeur, les entiers convenables sont ceux qui sont inférieurs à cette valeur.

Les exercices

Exercice 1 Calculs directs

★☆☆Environ 5 min

Sans calculatrice, détermine $\log(0{,}001)$ , puis $\log(10^7)$ , puis la solution de l'équation $10^x = 100\,000$ . Donne ici la valeur de $\log(0{,}001)$ comme réponse.

Indice 1

Écris $0{,}001$ comme une puissance de 10.

Indice 2

$\log b$ est l'exposant $x$ tel que $10^x = b$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $0{,}001=\dfrac{1}{1000}=10^{-3}$ .
Par définition, $\log(10^{-3})$ est la solution de $10^x=10^{-3}$ , donc $\log(0{,}001)=-3$ .
De même $\log(10^7)=7$ .
L'équation $10^x=100\,000=10^5$ a pour solution $x=\log(100\,000)=5$ .

Pour une puissance de 10, le logarithme décimal est simplement l'exposant : $\log(10^k)=k$ , y compris quand $k$ est négatif.

Exercice 2 Utiliser le produit

★☆☆Environ 5 min

On donne $\log 2\approx 0{,}301$ . Calcule $\log 20$ , puis $\log 2000$ .

Indice 1

Décompose $20 = 2\times 10$ .

Indice 2

Souviens-toi que $\log 10 = 1$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $20=2\times 10$ .
Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes : $\log 20=\log 2+\log 10$ .
Comme $\log 10=1$ , on obtient $\log 20\approx 0{,}301+1=1{,}301$ .
De même $2000=2\times 10^3$ , donc $\log 2000=\log 2+3\approx 3{,}301$ .

Multiplier un nombre par 10 ajoute exactement 1 à son logarithme décimal. La partie décimale ne change pas, seule la partie entière augmente.

Exercice 3 Utiliser le quotient

★☆☆Environ 6 min

On donne $\log 2\approx 0{,}301$ . Calcule $\log 5$ en remarquant que $5=\dfrac{10}{2}$ , puis $\log 0{,}5$ .

Indice 1

Utilise $\log\frac{a}{b}=\log a-\log b$ .

Indice 2

Pour $0{,}5$ , écris $0{,}5=\frac{1}{2}$ et rappelle-toi que $\log 1=0$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $5=\dfrac{10}{2}$ .
$\log 5=\log 10-\log 2=1-\log 2$ .
Avec la valeur donnée, $\log 5\approx 1-0{,}301=0{,}699$ .
Pour $0{,}5=\dfrac12$ : $\log 0{,}5=\log 1-\log 2=-\log 2\approx -0{,}301$ .

Les nombres $2$ et $5$ ont des logarithmes qui s'additionnent pour faire 1, car leur produit vaut 10. Retiens que passer à l'inverse change le signe du logarithme.

Exercice 4 Une équation $a^x = b$

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $3^x = 50$ . Donne la valeur de $x$ arrondie au millième.

Indice 1

Les deux membres sont strictement positifs : tu peux appliquer $\log$ .

Indice 2

Après avoir appliqué $\log$ , l'exposant $x$ passe devant.

Voir la correction pas à pas

Les deux membres sont strictement positifs, donc on applique $\log$ : $\log(3^x)=\log 50$ .
L'exposant sort en facteur : $x\log 3=\log 50$ .
Comme $\log 3\neq 0$ , on divise : $x=\dfrac{\log 50}{\log 3}$ .
À la calculatrice, $\log 50\approx 1{,}6990$ et $\log 3\approx 0{,}4771$ , donc $x\approx 3{,}561$ .
Contrôle : $3^{3{,}5}\approx 46{,}8$ et $3^{4}=81$ , donc $50$ est bien entre les deux.

La solution est $x=\dfrac{\log 50}{\log 3}\approx 3{,}561$ . Le contrôle par encadrement évite une erreur de saisie à la calculatrice.

Exercice 5 Doubler un capital

★★☆Environ 10 min

Un capital placé à 5 % par an est multiplié par $1{,}05$ chaque année. Au bout de $n$ années, il est multiplié par $1{,}05^n$ . Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que le capital ait plus que doublé, c'est-à-dire $1{,}05^n > 2$ .

Indice 1

Applique $\log$ aux deux membres de l'inégalité : $\log$ est croissante.

Indice 2

$\log 1{,}05$ est positif : le sens de l'inégalité ne change pas quand tu divises.

Voir la correction pas à pas

On veut $1{,}05^n>2$ . Les deux membres sont positifs et $\log$ est croissante, donc $n\log 1{,}05>\log 2$ .
Comme $1{,}05>1$ , on a $\log 1{,}05>0$ : on divise sans changer le sens, $n>\dfrac{\log 2}{\log 1{,}05}$ .
À la calculatrice, $\log 2\approx 0{,}30103$ et $\log 1{,}05\approx 0{,}02119$ , donc $n>14{,}2$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à $14{,}2$ est $15$ .
Contrôle : $1{,}05^{14}\approx 1{,}980<2$ et $1{,}05^{15}\approx 2{,}079>2$ .

Il faut 15 ans pour que le capital dépasse le double de sa valeur. Pour un entier cherché, on arrondit toujours dans le sens qui rend l'inégalité vraie, ici vers le haut.

Exercice 6 Une équation $x^a = b$

★★☆Environ 10 min

Résous dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $x^3=500$ . On donne $\log 5\approx 0{,}699$ . Donne $x$ arrondi au millième.

Indice 1

Applique $\log$ puis fais sortir l'exposant 3 : tu obtiens $\log x$ .

Indice 2

Pour revenir à $x$ depuis $\log x$ , utilise la définition : $x=10^{\log x}$ .

Indice 3

Écris $500=5\times 10^2$ pour calculer $\log 500$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $x>0$ , on applique $\log$ : $3\log x=\log 500$ .
On calcule $\log 500=\log 5+\log 10^2=\log 5+2\approx 2{,}699$ .
Donc $\log x=\dfrac{2{,}699}{3}\approx 0{,}8997$ .
Par définition du logarithme, $x=10^{0{,}8997}\approx 7{,}94$ .
Avec une valeur plus précise de $\log 5$ , on trouve $x\approx 7{,}937$ , valeur de $\sqrt[3]{500}$ .
Contrôle : $7{,}937^3\approx 500{,}0$ .

La solution est $x=\sqrt[3]{500}\approx 7{,}937$ . Pour une équation $x^a=b$ , on passe par $\log x$ , puis on revient à $x$ en prenant la puissance de 10.

Exercice 7 Une baisse de 8 % par an

★★★Environ 12 min

Le nombre d'individus d'une population diminue de 8 % chaque année. Après $n$ années, il est multiplié par $0{,}92^n$ . Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que la population soit devenue inférieure au quart de sa valeur initiale, c'est-à-dire $0{,}92^n<0{,}25$ .

Indice 1

Applique $\log$ aux deux membres.

Indice 2

Que vaut le signe de $\log 0{,}92$ ? Que se passe-t-il quand on divise par un nombre négatif ?

Voir la correction pas à pas

On veut $0{,}92^n<0{,}25$ . Par croissance de $\log$ : $n\log 0{,}92<\log 0{,}25$ .
Comme $0{,}92<1$ , on a $\log 0{,}92<0$ (environ $-0{,}0362$ ).
On divise par ce nombre négatif, ce qui inverse le sens : $n>\dfrac{\log 0{,}25}{\log 0{,}92}$ .
$\log 0{,}25\approx -0{,}6021$ , donc $n>\dfrac{-0{,}6021}{-0{,}0362}\approx 16{,}6$ .
Le plus petit entier convenable est $n=17$ .
Contrôle : $0{,}92^{16}\approx 0{,}263>0{,}25$ et $0{,}92^{17}\approx 0{,}242<0{,}25$ .

Il faut 17 années. Si tu avais gardé le sens de l'inégalité, tu aurais trouvé $n<16{,}6$ , ce qui est absurde pour une population qui baisse : le contrôle final le montre.

Exercice 8 Nombre de chiffres de $2^{100}$

★★★Environ 12 min

On donne $\log 2\approx 0{,}30103$ . Combien de chiffres s'écrivent dans l'écriture décimale de $2^{100}$ ? Explique comment le logarithme donne l'ordre de grandeur.

Indice 1

Calcule $\log(2^{100})$ avec la propriété de la puissance.

Indice 2

Si $x=a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ , que valent la partie entière et la partie décimale de $\log x$ ?

Voir la correction pas à pas

On a $\log(2^{100})=100\log 2\approx 30{,}103$ .
Écrivons $2^{100}=a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier. Alors $\log(2^{100})=\log a+n$ .
Comme $\log$ est croissante, $\log a$ est compris entre $0$ et $1$ ³. La partie entière de $\log(2^{100})$ est donc $n$ .
Ici $n=30$ : $2^{100}\approx a\times 10^{30}$ , avec $a=10^{0{,}103}\approx 1{,}27$ .
Un nombre de la forme $a\times 10^{30}$ avec $1\le a<10$ s'écrit avec $30+1=31$ chiffres.

$2^{100}$ s'écrit avec 31 chiffres, et vaut environ $1{,}27\times 10^{30}$ . La partie entière du logarithme décimal donne l'ordre de grandeur d'un nombre ², et la partie décimale donne le premier facteur $a$ de son écriture scientifique.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut inverser le sens de l'inégalité ?

Tout dépend du signe du nombre par lequel tu divises. Appliquer $\log$ garde le sens, car la fonction est croissante ³. Mais si tu divises ensuite par $\log a$ , regarde la base $a$ . Quand $a>1$ , $\log a>0$ et le sens reste le même. Quand $0<a<1$ , $\log a<0$ et le sens s'inverse. Vérifie toujours avec une valeur de $n$ de part et d'autre du résultat.

Faut-il utiliser log ou ln pour résoudre une équation $a^x = b$ ?

Les deux donnent le même résultat, car le quotient $\frac{\log b}{\log a}$ est égal à $\frac{\ln b}{\ln a}$ . En Terminale technologique, le programme met en avant le logarithme décimal pour ce type d'équation ². Utilise donc la touche log de ta calculatrice, et ne mélange pas les deux dans un même calcul sans raison.

Pourquoi le résultat d'un problème de durée doit-il être un entier ?

Parce que l'inconnue $n$ compte des années, des étapes ou des périodes entières. L'inéquation $a^n<b$ est posée pour $n$ entier naturel ¹. Le calcul donne un nombre à virgule, par exemple $14{,}2$ . Tu choisis alors le plus petit entier qui vérifie l'inégalité, ici $15$ , puis tu contrôles avec les deux valeurs voisines.

Sources

Programme de mathématiques de Terminale technologique (document complet), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Annexe – Programme d'enseignement de mathématiques de Terminale technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Logarithme décimal, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Logarithme décimal : exercices corrigés de Terminale techno

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Calculs directs

Exercice 2 Utiliser le produit

Exercice 3 Utiliser le quotient

Exercice 4 Une équation $a^x = b$

Exercice 5 Doubler un capital

Exercice 6 Une équation $x^a = b$

Exercice 7 Une baisse de 8 % par an

Exercice 8 Nombre de chiffres de $2^{100}$

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur