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Mathématiques · Terminale technologiqueBac

L'intervalle de fluctuation : cours de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Un intervalle de fluctuation est un intervalle où une fréquence observée se trouve avec forte probabilité, souvent 95 %. 4
  • Il suppose que la proportion p est connue (pièce équilibrée, loi annoncée). Si p est inconnue, on parle d'intervalle de confiance. 4
  • Au seuil de 95 % : I=[p−1n ; p+1n]I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right], avec n≥25n\geq 25 et 0,2≤p≤0,80{,}2\leq p\leq 0{,}8. 4
  • Plus n augmente, plus l'intervalle se resserre. 1
  • Décision : si la fréquence observée sort de II, on rejette l'hypothèse sur pp, avec un risque d'erreur contrôlé ; sinon on ne la rejette pas. 4

Pourquoi une fréquence change d'un échantillon à l'autre

Tu lances une pièce équilibrée 100 fois. Tu t'attends à environ 50 « pile ». Pourtant, tu obtiens 47 la première fois, 54 la deuxième, 51 la troisième. Rien d'anormal : le hasard fait varier les résultats d'un échantillon à l'autre. On appelle cela la fluctuation d'échantillonnage. 1

Une question se pose alors : à partir de quel écart faut-il se méfier ? Si tu obtiens 58 « pile », la pièce est-elle truquée ? Et 65 ? L'intervalle de fluctuation répond à cette question. Il fixe une zone de résultats « normaux » : en dehors de cette zone, le résultat devient suspect.

Ce chapitre s'appuie sur ce que tu connais déjà : le schéma de Bernoulli (une expérience à deux issues, succès ou échec), la loi binomiale (le nombre de succès sur nn répétitions indépendantes) et les variables aléatoires. Ici, on ne s'intéresse pas au nombre de succès mais à la fréquence de succès, c'est-à-dire le nombre de succès divisé par nn.

Définition de l'intervalle de fluctuation

Comment est-il construit ? Avec la loi binomiale, on écarte les valeurs extrêmes du nombre de succès : celles qui, de chaque côté, pèsent moins de 2,5 %. On garde les valeurs centrales, qui représentent environ 95 % des cas. 4 Les bornes se trouvent donc par un calcul de probabilités binomiales, éventuellement à l'aide d'un algorithme ou d'un tableur. 2 On peut aussi les obtenir de façon approchée par simulation. 1

La formule au seuil de 95 %

Calculer des probabilités binomiales à la main est long. Quand l'échantillon est assez grand, une formule simple donne un très bon résultat.

Calculer un intervalle de fluctuationQuatre étapes : relever p et n, vérifier les conditions, calculer 1 sur racine de n, écrire les bornes.1Relever p et nLire la proportion annoncée et la taille.2Vérifiern ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8.3Calculer 1/√nRacine carrée, puis inverse.4Écrire IBornes : p − 1/√n et p + 1/√n.
  1. Relever p et nLire la proportion annoncée et la taille.
  2. Vérifiern ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8.
  3. Calculer 1/√nRacine carrée, puis inverse.
  4. Écrire IBornes : p − 1/√n et p + 1/√n.
Calculer un intervalle de fluctuation · Les étapes du calcul au seuil de 95 %.

Effet de la taille de l'échantillon

Dans la formule, nn est sous une racine carrée au dénominateur. Quand nn grandit, 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} diminue. La taille de l'intervalle diminue donc si nn augmente. 1

Autrement dit, avec un grand échantillon, la fréquence observée s'écarte peu de pp. On peut donc détecter un écart plus petit. Le tableau suivant montre l'effet de nn pour une amplitude (largeur) 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}}.

Amplitude selon la taille n
Taille n1/√nAmplitude 2/√n
250,20,4
1000,10,2
4000,050,1
25000,020,04
Amplitude selon la taille n · Amplitude = 2/√n : plus n est grand, plus l'intervalle est étroit.

Prendre une décision avec l'intervalle

L'intérêt principal de l'intervalle est de permettre une décision avec un risque d'erreur maîtrisé. 4 On part d'une affirmation sur la proportion (« il y a 60 % de ... »), on prélève un échantillon, puis on compare la fréquence observée à l'intervalle.

Intervalle de fluctuation ou intervalle de confiance ?

Ces deux notions se ressemblent par leur écriture, mais elles ne répondent pas à la même question. Il ne faut pas les confondre. 5

Erreurs fréquentes et conseils de rédaction

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un intervalle

★☆☆Environ 5 min

Une urne contient 40 % de boules rouges. On tire 100 boules avec remise. On étudie la fréquence de boules rouges.

  1. Vérifie les conditions d'utilisation de la formule.
  2. Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Donne la borne supérieure de l'intervalle (valeur numérique demandée).

Indice 1

Ici p=0,4p=0{,}4 et n=100n=100.

Indice 2

Calcule d'abord 1100\dfrac{1}{\sqrt{100}}.

Voir la correction pas à pas

  1. Conditions : n=100≥25n=100\geq 25 et 0,2≤0,4≤0,80{,}2\leq 0{,}4\leq 0{,}8. La formule s'applique.

  2. On calcule 1100=0,1\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0{,}1.

  3. Borne de gauche : 0,4−0,1=0,30{,}4-0{,}1=0{,}3.

  4. Borne de droite : 0,4+0,1=0,50{,}4+0{,}1=0{,}5.

  5. L'intervalle est I=[0,3 ; 0,5]I=[0{,}3\ ;\ 0{,}5] ; la borne supérieure vaut 0,50{,}5.

L'intervalle de fluctuation est [0,3 ; 0,5][0{,}3\ ;\ 0{,}5] : sur 100 tirages, on s'attend à 30 à 50 boules rouges dans la grande majorité des cas.

Exercice 2 Tester une annonce

★★☆Environ 10 min

Un site annonce que 60 % de ses clients sont satisfaits. Une enquête sur 400 clients indique 216 clients satisfaits.

  1. Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
  2. Calcule la fréquence observée.
  3. Conclus : l'annonce est-elle rejetée ?

Donne la fréquence observée (valeur numérique demandée).

Indice 1

Ici p=0,6p=0{,}6 et n=400n=400, donc 1n=0,05\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}05.

Indice 2

La fréquence se calcule en divisant 216 par 400.

Voir la correction pas à pas

  1. Conditions : 400≥25400\geq 25 et 0,2≤0,6≤0,80{,}2\leq 0{,}6\leq 0{,}8.

  2. 1400=0,05\dfrac{1}{\sqrt{400}}=0{,}05, donc I=[0,6−0,05 ; 0,6+0,05]=[0,55 ; 0,65]I=[0{,}6-0{,}05\ ;\ 0{,}6+0{,}05]=[0{,}55\ ;\ 0{,}65].

  3. Fréquence observée : f=216400=0,54f=\dfrac{216}{400}=0{,}54.

  4. Comparaison : 0,54<0,550{,}54<0{,}55, donc f∉If\notin I.

  5. Conclusion : on rejette l'annonce au seuil de 95 %, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

La fréquence 0,540{,}54 sort de [0,55 ; 0,65][0{,}55\ ;\ 0{,}65] : le taux de 60 % annoncé paraît trop élevé.

Exercice 3 Quelle taille d'échantillon ?

★★★Environ 12 min

On veut que l'amplitude (largeur) de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % soit au plus égale à 0,040{,}04.

  1. Exprime l'amplitude en fonction de nn.
  2. Trouve la plus petite taille nn qui convient.

Donne cette valeur de nn (valeur numérique demandée).

Indice 1

L'amplitude est la borne droite moins la borne gauche : elle ne dépend pas de pp.

Indice 2

Résous 2n≤0,04\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leq 0{,}04.

Voir la correction pas à pas

  1. Amplitude : (p+1n)−(p−1n)=2n\left(p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)-\left(p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}.

  2. On veut 2n≤0,04\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leq 0{,}04, soit n≥20,04=50\sqrt{n}\geq \dfrac{2}{0{,}04}=50.

  3. Les nombres étant positifs, on élève au carré : n≥502=2500n\geq 50^2=2500.

  4. La plus petite taille qui convient est n=2500n=2500.

Il faut au moins 2 500 observations. Pour une amplitude deux fois plus petite, il en faudrait quatre fois plus.

Quiz

7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Dans quelle situation utilise-t-on un intervalle de fluctuation ?

  2. Pour p=0,5p=0{,}5 et n=64n=64, quelle est la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

  3. Avec p=0,3p=0{,}3 et n=100n=100, que vaut l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

  4. Quand la taille nn de l'échantillon augmente, l'intervalle de fluctuation devient...

  5. Une fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Quelle conclusion est correcte ?

  6. La formule [p−1n ; p+1n]\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] convient pour n=400n=400 et p=0,05p=0{,}05.

  7. On teste p=0,5p=0{,}5 avec n=100n=100 lancers et on observe 58 « pile ». Que conclure ?

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?

Pour l'intervalle de fluctuation, la proportion pp est connue et on encadre la fréquence qu'on va observer. Pour l'intervalle de confiance, pp est inconnue : on part de la fréquence ff d'un échantillon pour encadrer pp. 4 5 Les deux notions ne doivent pas être confondues. 5

Pourquoi le seuil est-il de 95 % et pas de 100 % ?

Un intervalle à 100 % serait toujours [0 ; 1][0\ ;\ 1], donc inutile : il ne permet aucune décision. On accepte de laisser de côté les valeurs les plus rares, environ 2,5 % de chaque côté. 4 D'où un risque d'erreur d'environ 5 %.

Que faire si les conditions $n\geq 25$ et $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$ ne sont pas vérifiées ?

La formule simple n'est alors pas fiable. 4 On revient à la définition : on cherche, avec la loi binomiale, les valeurs extrêmes de moins de 2,5 % de chaque côté, avec la calculatrice ou un tableur. 4 2

Comment savoir si je dois comparer un nombre de succès ou une fréquence ?

La formule du cours donne un intervalle pour la fréquence. Calcule donc f=succeˋsnf=\dfrac{\text{succès}}{n} avant de comparer. Tu peux aussi multiplier les bornes par nn pour comparer directement des effectifs, mais ne mélange jamais les deux.

Une fréquence dans l'intervalle prouve-t-elle que l'hypothèse est vraie ?

Non. Elle montre seulement que l'écart avec pp est compatible avec la fluctuation d'échantillonnage. 1 Tu écris donc « on ne peut pas rejeter l'hypothèse ».

Sources

  1. Échantillonnage et fluctuation, Sesamath - Manuel numérique. Consulté le 11 novembre 2026.
  2. Les algorithmes du programme de spécialité mathématiques de Terminale, Revue Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.
  3. Simulations d'expériences aléatoires en classe, Sesamath - Ressources pédagogiques. Consulté le 11 novembre 2026.
  4. Intervalle de fluctuation, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
  5. Intervalle de confiance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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