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Intervalle de fluctuation : exercices corrigés de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'intervalle de fluctuation contient la fréquence observée avec une forte probabilité (souvent 95 %), quand la proportion $p$ est connue. ⁴
Pour un échantillon de taille $n$ , il s'écrit $\left[p-\frac{1}{\sqrt n}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt n}\right]$ lorsque $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ . ⁴
Plus $n$ augmente, plus l'intervalle se resserre. ¹
Décision : fréquence observée dans l'intervalle, on garde l'hypothèse ; en dehors, on la met en doute.
Si $p$ est inconnue, on n'utilise pas l'intervalle de fluctuation mais l'intervalle de confiance. ⁴

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du calcul simple des bornes à la prise de décision, puis à la recherche de la taille d'un échantillon. Les derniers demandent un peu plus de réflexion, mais rien que tu n'aies déjà vu avec la loi binomiale. Cherche chaque exercice sur ton cahier avec une calculatrice, en regardant les indices seulement si tu bloques. Compare ensuite ta rédaction avec la correction, étape par étape.

Le point de départ est le schéma de Bernoulli répété $n$ fois : la loi binomiale décrit le nombre de succès, et on s'intéresse ici à la fréquence de succès dans l'échantillon, c'est-à-dire le nombre de succès divisé par $n$ .

Les exercices

Exercice 1 Pile ou face sur 100 lancers

★☆☆Environ 5 min

On lance 100 fois une pièce équilibrée, donc $p=0{,}5$ et $n=100$ .

Vérifie que les conditions d'utilisation de la formule sont remplies.
Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de « pile ».
Traduis cet intervalle en nombre de « pile » sur les 100 lancers.

Donne en réponse la borne inférieure de l'intervalle.

Indice 1

Calcule d'abord $\frac{1}{\sqrt{100}}$ .

Indice 2

Une fréquence de 0,4 sur 100 lancers correspond à 40 « pile ».

Voir la correction pas à pas

Conditions : $np=100\times0{,}5=50\geq5$ et $n(1-p)=50\geq5$ , la formule s'applique.
On calcule $\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0{,}1$ .
Borne inférieure : $0{,}5-0{,}1=0{,}4$ . Borne supérieure : $0{,}5+0{,}1=0{,}6$ .
Donc $I=[0{,}4\ ;\ 0{,}6]$ .
En effectif : $0{,}4\times100=40$ et $0{,}6\times100=60$ . Un nombre de « pile » compris entre 40 et 60 est donc normal pour une pièce équilibrée.

Sur 100 lancers, obtenir entre 40 et 60 « pile » n'a rien de surprenant. Ce n'est qu'en dehors de cette plage que la pièce devient suspecte.

Exercice 2 Un échantillon de 400 individus

★☆☆Environ 6 min

Dans une population, la proportion d'un caractère est $p=0{,}3$ . On prélève un échantillon de taille $n=400$ .

Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence du caractère.
Dans l'échantillon, 150 individus ont le caractère. La fréquence observée est-elle dans l'intervalle ?

Donne en réponse la borne supérieure de l'intervalle.

Indice 1

$\sqrt{400}=20$ .

Indice 2

Pour la question 2, calcule $\frac{150}{400}$ avant de comparer.

Voir la correction pas à pas

Conditions : $np=120\geq5$ et $n(1-p)=280\geq5$ .
On calcule $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=0{,}05$ .
Bornes : $0{,}3-0{,}05=0{,}25$ et $0{,}3+0{,}05=0{,}35$ , donc $I=[0{,}25\ ;\ 0{,}35]$ .
Fréquence observée : $f=\frac{150}{400}=0{,}375$ .
Comme $0{,}375>0{,}35$ , la fréquence est en dehors de l'intervalle.

La fréquence observée dépasse la borne supérieure : l'échantillon s'écarte de ce que la proportion $p=0{,}3$ laisse attendre. On met cette valeur de $p$ en doute pour la population dont il provient.

Exercice 3 Largeur de l'intervalle pour n = 64

★☆☆Environ 7 min

On étudie un échantillon de $n=64$ individus avec $p=0{,}6$ .

Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
Calcule son amplitude (borne supérieure moins borne inférieure).
On observe 45 succès. Que peut-on dire ?

Donne en réponse l'amplitude de l'intervalle.

Indice 1

$\sqrt{64}=8$ .

Indice 2

L'amplitude vaut deux fois $\frac{1}{\sqrt n}$ .

Voir la correction pas à pas

Conditions : $np=38{,}4\geq5$ et $n(1-p)=25{,}6\geq5$ .
On calcule $\frac{1}{\sqrt{64}}=\frac18=0{,}125$ .
Bornes : $0{,}6-0{,}125=0{,}475$ et $0{,}6+0{,}125=0{,}725$ , donc $I=[0{,}475\ ;\ 0{,}725]$ .
Amplitude : $0{,}725-0{,}475=0{,}25$ , soit $\frac{2}{8}$ .
Fréquence observée : $f=\frac{45}{64}\approx0{,}703$ . Elle est dans $I$ : rien ne contredit l'hypothèse $p=0{,}6$ .

Ici la fréquence est dans l'intervalle, donc le résultat est compatible avec $p=0{,}6$ . Cela n'oblige pas à croire que $p$ vaut exactement 0,6 : on n'a simplement aucune raison de le rejeter.

Exercice 4 Le dé et les six

★★☆Environ 8 min

On lance un dé équilibré 36 fois. La proportion théorique de « 6 » est $p=\frac16$ .

Vérifie les conditions.
Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de « 6 ».
Un joueur obtient 15 fois le « 6 ». Son dé est-il suspect ?
Quel est le nombre maximal de « 6 » compatible avec l'intervalle ?

Donne en réponse ce nombre maximal.

Indice 1

Ici $\frac{1}{\sqrt{36}}=\frac16$ : la borne inférieure est particulière.

Indice 2

Multiplie la borne supérieure par 36 pour revenir à un effectif.

Voir la correction pas à pas

Conditions : $np=36\times\frac16=6\geq5$ et $n(1-p)=30\geq5$ .
On calcule $\frac{1}{\sqrt{36}}=\frac16$ .
Borne inférieure : $\frac16-\frac16=0$ . Borne supérieure : $\frac16+\frac16=\frac13$ . Donc $I=\left[0\ ;\ \frac13\right]$ .
Fréquence observée : $f=\frac{15}{36}\approx0{,}417$ , supérieure à $\frac13\approx0{,}333$ : le dé est suspect.
Effectif maximal : $36\times\frac13=12$ . Au-delà de 12 « six » sur 36 lancers, la fréquence sort de l'intervalle.

Avec 15 « six » pour un maximum de 12, le dé paraît suspect. Il reste possible qu'il soit équilibré et que le hasard ait joué un tour : la décision repose sur un risque d'erreur contrôlé, pas sur une certitude.

Exercice 5 Quelle taille d'échantillon choisir ?

★★☆Environ 8 min

On étudie un caractère de proportion $p=0{,}5$ . On veut que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ait une amplitude égale à $0{,}1$ .

Exprime l'amplitude en fonction de $n$ .
Détermine la taille $n$ de l'échantillon nécessaire.
Vérifie que les conditions sont satisfaites.

Donne en réponse la valeur de $n$ .

Indice 1

L'amplitude est $\frac{2}{\sqrt n}$ .

Indice 2

Résous $\frac{2}{\sqrt n}=0{,}1$ en isolant $\sqrt n$ puis en élevant au carré.

Voir la correction pas à pas

Les bornes sont $0{,}5-\frac{1}{\sqrt n}$ et $0{,}5+\frac{1}{\sqrt n}$ , donc l'amplitude vaut $\frac{2}{\sqrt n}$ .
On écrit l'équation $\frac{2}{\sqrt n}=0{,}1$ .
On isole la racine : $\sqrt n=\frac{2}{0{,}1}=20$ .
On élève au carré : $n=20^2=400$ .
Vérification : $np=200\geq5$ et $n(1-p)=200\geq5$ .

Il faut 400 individus. Comme l'amplitude diminue quand $n$ augmente, ¹ diviser l'amplitude par 2 oblige à multiplier $n$ par 4, puisque $n$ intervient par sa racine carrée.

Exercice 6 Contrôle d'un lot de pièces

★★☆Environ 9 min

Une usine annonce que 80 % de ses pièces sont conformes ( $p=0{,}8$ ). On contrôle un lot de $n=225$ pièces et on en trouve 162 conformes.

Vérifie les conditions.
Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Arrondis les bornes au millième.
Le lot est-il compatible avec l'annonce de l'usine ?

Donne en réponse la borne inférieure, arrondie au dix-millième.

Indice 1

$\sqrt{225}=15$ .

Indice 2

Calcule la fréquence de pièces conformes : $\frac{162}{225}$ .

Voir la correction pas à pas

Conditions : $np=180\geq5$ et $n(1-p)=45\geq5$ .
On calcule $\frac{1}{\sqrt{225}}=\frac{1}{15}\approx0{,}0667$ .
Borne inférieure : $0{,}8-\frac{1}{15}\approx0{,}733$ . Borne supérieure : $0{,}8+\frac{1}{15}\approx0{,}867$ .
Donc $I\approx[0{,}733\ ;\ 0{,}867]$ .
Fréquence observée : $f=\frac{162}{225}=0{,}72$ . Comme $0{,}72<0{,}733$ , elle est sous la borne inférieure.

La fréquence de pièces conformes est trop basse pour l'annonce de 80 %. Le lot est suspect : un contrôle plus poussé de la fabrication se justifie.

Exercice 7 Tirages dans une urne virtuelle

★★★Environ 10 min

Dans une simulation, une urne contient 52 % de boules rouges ( $p=0{,}52$ ). On effectue 2 500 tirages avec remise, de sorte que les tirages sont identiques et indépendants.

Justifie que le nombre de boules rouges suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de boules rouges.
Convertis-le en nombre de boules rouges.
Un programme annonce 1 225 boules rouges. Est-ce plausible ?

Donne en réponse le nombre maximal de boules rouges compatible avec l'intervalle.

Indice 1

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès « rouge ».

Indice 2

$\sqrt{2500}=50$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $0{,}52$ , et les tirages avec remise sont indépendants : le nombre de rouges suit la loi binomiale $\mathcal B(2500\ ;\ 0{,}52)$ .
Conditions : $np=1300\geq5$ et $n(1-p)=1200\geq5$ .
On calcule $\frac{1}{\sqrt{2500}}=\frac{1}{50}=0{,}02$ , d'où $I=[0{,}50\ ;\ 0{,}54]$ .
Effectifs : $0{,}50\times2500=1250$ et $0{,}54\times2500=1350$ . Le nombre de rouges attendu se situe entre 1 250 et 1 350.
Pour 1 225 boules, $f=\frac{1225}{2500}=0{,}49<0{,}50$ : ce résultat sort de l'intervalle, il n'est pas plausible avec $p=0{,}52$ .

Le résultat annoncé tombe sous 1 250. Il est donc peu crédible pour cette urne : on vérifie la simulation ou la valeur de $p$ utilisée.

Exercice 8 Fluctuation ou confiance ?

★★★Environ 10 min

Un institut interroge $n=900$ personnes au hasard. La fréquence observée d'avis favorables est $f=0{,}46$ . La proportion $p$ d'avis favorables dans toute la population est inconnue.

Explique pourquoi l'intervalle de fluctuation ne convient pas ici.
On utilise à la place (pour aller plus loin) l'intervalle de confiance $\left[f-\frac{1}{\sqrt n}\ ;\ f+\frac{1}{\sqrt n}\right]$ , qui encadre $p$ au niveau de confiance 95 %. Calcule-le.

Donne en réponse la borne inférieure, arrondie au dix-millième.

Indice 1

Pour l'intervalle de fluctuation, il faut connaître $p$ avant de tirer l'échantillon.

Indice 2

$\sqrt{900}=30$ .

Voir la correction pas à pas

L'intervalle de fluctuation encadre la fréquence d'un échantillon quand $p$ est connu. ⁴ Ici $p$ est justement ce qu'on cherche : il faut un intervalle de confiance. ⁴
On calcule $\frac{1}{\sqrt{900}}=\frac{1}{30}\approx0{,}0333$ .
Borne inférieure : $0{,}46-0{,}0333\approx0{,}4267$ .
Borne supérieure : $0{,}46+0{,}0333\approx0{,}4933$ .
Donc $p$ se situe dans $[0{,}4267\ ;\ 0{,}4933]$ avec au moins 95 % de chances. ⁵

Les formules se ressemblent, mais les rôles diffèrent. L'intervalle de fluctuation est centré sur $p$ connu et encadre $f$ . L'intervalle de confiance est centré sur $f$ observé et encadre $p$ inconnu. ⁵

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser l'intervalle de fluctuation ou l'intervalle de confiance ?

Regarde si la proportion $p$ de la population est connue. Si oui, tu veux savoir si une fréquence d'échantillon est normale : intervalle de fluctuation. Si non, tu estimes $p$ à partir d'un échantillon : intervalle de confiance. ⁴

Que faire quand la fréquence observée sort de l'intervalle ?

Tu rejettes l'hypothèse sur $p$ , ou tu la juges peu crédible, avec un risque d'erreur contrôlé. ⁴ Tu ne prouves pas qu'elle est fausse : un échantillon rare reste possible. À l'écrit, conclus avec cette nuance.

Pourquoi l'intervalle devient-il plus étroit quand l'échantillon grossit ?

Plus l'échantillon est grand, moins sa fréquence fluctue autour de $p$ . Dans la formule, $\frac{1}{\sqrt n}$ diminue quand $n$ augmente. ¹ Pour diviser l'amplitude par 2, il faut multiplier $n$ par 4.

Sources

Échantillonnage et fluctuation, Sesamath - Manuel numérique. Consulté le 11 novembre 2026.
Les algorithmes du programme de spécialité mathématiques de Terminale, Revue Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.
Simulations d'expériences aléatoires en classe, Sesamath - Ressources pédagogiques. Consulté le 11 novembre 2026.
Intervalle de fluctuation, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Intervalle de confiance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Exercice 1 Pile ou face sur 100 lancers

Exercice 2 Un échantillon de 400 individus

Exercice 3 Largeur de l'intervalle pour n = 64

Exercice 4 Le dé et les six

Exercice 5 Quelle taille d'échantillon choisir ?

Exercice 6 Contrôle d'un lot de pièces

Exercice 7 Tirages dans une urne virtuelle

Exercice 8 Fluctuation ou confiance ?

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