La loi binomiale : cours de Terminale technologique

Tu lances une pièce 10 fois. Tu tires 20 fois au hasard dans une urne en remettant la boule à chaque fois. Un contrôle qualité teste 50 pièces d'une chaîne de fabrication. Dans chaque cas, on répète la même petite expérience à deux issues, et on se demande combien de fois un certain résultat est apparu.

C'est exactement le rôle de la loi binomiale : elle sert à modéliser le nombre de succès obtenus quand on réalise plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.² Elle fait partie des lois de probabilité que l'on rencontre dès l'introduction aux probabilités, parce que sa définition est simple.²

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• reconnaître quand une situation relève de la loi binomiale ;
• calculer une probabilité à la main avec un arbre, puis avec la formule ;
• utiliser la calculatrice ou le tableur ;
• calculer l'espérance et traiter les questions « au moins un » ;
• rédiger proprement une réponse de type bac.

Tu as déjà vu les variables aléatoires, l'espérance et le schéma de Bernoulli. On s'appuie dessus : un rappel rapide suffit.

On associe à une épreuve de Bernoulli une variable aléatoire qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon.² Cette petite variable est pratique : si tu additionnes ces valeurs sur plusieurs épreuves, tu obtiens exactement le nombre de succès.²

Une autre façon de voir les choses : chaque épreuve fournit un $0$ ou un $1$, et $X$ est la somme de ces $n$ nombres.² Comme chaque terme vaut $0$ ou $1$, la somme est un entier compris entre $0$ et $n$. Donc $X$ peut prendre les valeurs $0, 1, 2, \dots, n$.

Le nombre de succès est aléatoire. Pour décrire la loi, il faut donc donner, pour chaque entier $k$, la probabilité que le succès apparaisse exactement $k$ fois sur les $n$ essais.² C'est ce que l'on note $P(X=k)$.

Pour comprendre la formule, on commence par un arbre de probabilités. Voici l'idée : chaque épreuve est représentée par deux branches, une pour le succès et une pour l'échec ; à l'extrémité de chaque branche, on ajoute deux nouvelles branches pour l'épreuve suivante, et on recommence jusqu'à avoir tracé toutes les épreuves.² À la fin, chaque chemin correspond à une suite de résultats, et on peut compter combien de succès il contient.²

Pour obtenir la probabilité d'avoir $k$ succès, on prend chaque chemin qui contient $k$ succès, et on additionne leurs probabilités. Comme tous ces chemins ont la même probabilité, il suffit de multiplier le nombre de chemins par cette probabilité commune.²

Cet arbre devient vite énorme : avec 10 épreuves, il y a $2^{10}=1024$ chemins. Il faut donc une méthode qui compte les chemins sans les dessiner. C'est le rôle du coefficient binomial.

Dès que $n$ devient grand, le calcul à la main est long et fastidieux.² On utilise alors un outil. Les calculatrices et les tableurs proposent une fonction de loi binomiale, avec deux versions.

Dans un tableur, la fonction se nomme LOI.BINOMIALE. Elle prend quatre arguments : $k$, $n$, $p$ et un indicateur.

• Avec l'indicateur FAUX (ou 0), elle renvoie la probabilité $P(X=k)$.¹
• Avec l'indicateur VRAI (ou 1), elle renvoie la probabilité cumulée $P(X\leq k)$.¹

Les calculatrices ont deux fonctions équivalentes, souvent appelées « binomFdp » (ou « BinomialPD ») pour $P(X=k)$ et « binomFRép » (ou « BinomialCD ») pour $P(X\leq k)$. Le nom change selon le modèle, mais le principe est le même : tu entres $n$, $p$ et $k$.

L'espérance d'une variable aléatoire, c'est la valeur moyenne qu'on obtiendrait si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. Pour une loi binomiale, il existe un résultat très simple.

Ce résultat est naturel. Souviens-toi que $X$ est la somme de $n$ variables qui valent $1$ en cas de succès et $0$ sinon.² Chacune de ces variables a pour espérance $1\times p+0\times(1-p)=p$. L'espérance d'une somme est la somme des espérances : on additionne $n$ fois $p$, ce qui donne $n\times p$.

La loi binomiale est utilisée dans de nombreux domaines, notamment dans les tests statistiques qui servent à interpréter des données et à décider dans des situations où le hasard joue un rôle.² Elle a aussi une importance historique : elle a été au cœur de l'étude d'un résultat du XVIIIe siècle, le théorème de Moivre-Laplace, à l'origine des théorèmes de convergence.² Tu n'as pas à connaître ce théorème en Terminale technologique, mais il montre que cette loi simple est un point de départ de la statistique moderne.

Elle sert aussi pour étudier la fluctuation d'une fréquence observée dans un échantillon. En effet, quand on observe une fréquence de succès dans un échantillon de taille $n$, la loi binomiale permet de calculer exactement les probabilités des différentes fréquences que l'on peut observer.¹ Pour décider si une fréquence observée est « normale » ou « surprenante », on regarde donc la probabilité qu'elle soit atteinte par simple hasard.

Pour de très grandes valeurs de $n$, les calculs deviennent lourds et on peut utiliser des approximations, mais cela dépasse le programme.²