Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Loi binomiale : exercices corrigés de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une loi binomiale de paramètres n et p compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.²
Avec un arbre : P(X = k) = (nombre de chemins à k succès) × (probabilité d'un chemin).²
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), où C(n, k) est le nombre de chemins à k succès.
Pour « au moins un succès », passe par l'événement contraire : 1 − P(X = 0).
Au tableur, LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) donne P(X = k) et VRAI donne la probabilité cumulée.¹

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'enchaînent du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul·e, sur une feuille, puis ouvre un indice si tu bloques, et seulement ensuite la correction. Une correction lue sans avoir cherché ne t'apprend presque rien.

Réflexes à avoir avant de calculer

Avant de te lancer dans un calcul, prends trente secondes pour écrire la situation avec tes mots. Que représente $X$ ? Quel événement est un succès ? Combien de fois répète-t-on l'expérience ? Cette courte phrase évite la plupart des erreurs de modèle, bien plus fréquentes que les erreurs de calcul.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une loi binomiale

★☆☆Environ 6 min

Pour chaque situation, dis si la variable $X$ suit une loi binomiale. Si oui, donne $n$ et $p$ .

a) On lance 8 fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de piles.

b) On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces ; $X$ est le nombre de fois où l'on obtient un 1.

c) On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir 3 fois la face 1 ; $X$ est le nombre de lancers nécessaires.

Indice 1

Une loi binomiale a un nombre d'épreuves $n$ fixé à l'avance.

Indice 2

Pour c), demande-toi si le nombre de lancers est connu avant de commencer.

Voir la correction pas à pas

a) Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (pile ou face), indépendante des autres, avec $p=\frac12$ . Le nombre de lancers est fixé : $X\sim\mathcal{B}(8\,;\frac12)$ .
b) Succès = « obtenir un 1 », donc $p=\frac16$ . Il y a 10 lancers indépendants : $X\sim\mathcal{B}(10\,;\frac16)$ .
c) Ici le nombre de lancers n'est pas fixé : on s'arrête au troisième succès. La variable n'est pas binomiale.

Une loi binomiale compte les succès dans un nombre d'épreuves fixé à l'avance.² Quand on attend un nombre donné de succès, c'est une autre loi, la loi binomiale négative.³

Exercice 2 Un arbre pour trois lancers

★☆☆Environ 8 min

On lance 3 fois une pièce équilibrée. $X$ est le nombre de piles. Avec un arbre de probabilité, calcule $P(X=2)$ .

Indice 1

Écris les issues à 2 piles sur 3 lancers : PPF, par exemple.

Indice 2

Chaque chemin complet a la même probabilité, car $p=\frac12$ .

Voir la correction pas à pas

Les chemins à exactement 2 piles sont PPF, PFP et FPP : il y en a 3.
Un chemin complet a pour probabilité $\frac12\times\frac12\times\frac12=\frac18$ .
On multiplie le nombre de chemins par la probabilité d'un chemin : $P(X=2)=3\times\frac18=\frac38=0{,}375$ .

Tu retrouves la méthode de l'arbre : le nombre de chemins à $k$ succès fois la probabilité de chacun.² Ici $P(X=2)=0{,}375$ .

Exercice 3 Aucun succès

★☆☆Environ 6 min

Un joueur tente 4 tirs indépendants. À chaque tir, la probabilité de réussir est $0{,}2$ . $X$ est le nombre de tirs réussis. Calcule $P(X=0)$ .

Indice 1

$X=0$ signifie que les 4 tirs sont ratés.

Indice 2

Il n'y a qu'un seul chemin dans l'arbre.

Voir la correction pas à pas

Le succès a pour probabilité $0{,}2$ , donc l'échec a pour probabilité $1-0{,}2=0{,}8$ .
$X\sim\mathcal{B}(4\,;0{,}2)$ et $X=0$ correspond à un seul chemin : échec, échec, échec, échec.
$P(X=0)=0{,}8^4=0{,}4096$ .

Pour $k=0$ , il n'y a qu'un chemin : $P(X=0)=(1-p)^n$ . On trouve $0{,}4096$ .

Exercice 4 Deux succès sur cinq

★★☆Environ 10 min

Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité $0{,}3$ , indépendamment des autres. On prélève 5 pièces. $X$ est le nombre de pièces défectueuses. Calcule $P(X=2)$ au dix-millième.

Indice 1

Compte les chemins à 2 succès parmi 5 épreuves : c'est le nombre de façons de choisir 2 places sur 5.

Indice 2

Un chemin à 2 succès et 3 échecs vaut $0{,}3^2\times0{,}7^3$ .

Voir la correction pas à pas

$X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}3)$ , le succès étant « la pièce est défectueuse ».
Nombre de chemins à 2 succès : $\binom52=10$ (on choisit les 2 rangs des pièces défectueuses).
Probabilité d'un chemin : $0{,}3^2\times0{,}7^3=0{,}09\times0{,}343=0{,}03087$ .
$P(X=2)=10\times0{,}03087=0{,}3087$ .

On applique $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ avec $n=5$ , $k=2$ , $p=0{,}3$ : on obtient $0{,}3087$ .

Exercice 5 Au moins un 1 en quatre lancers

★★☆Environ 10 min

On lance 4 fois un dé équilibré à 6 faces. $X$ est le nombre de 1 obtenus. Calcule $P(X\geq1)$ , arrondie au dix-millième.

Indice 1

Calculer $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$ est long : cherche l'événement contraire.

Indice 2

L'événement contraire de $X\geq1$ est $X=0$ .

Voir la correction pas à pas

$X\sim\mathcal{B}(4\,;\frac16)$ .
L'événement contraire de $X\geq1$ est $X=0$ : aucun 1 en 4 lancers.
$P(X=0)=\left(\frac56\right)^4=\frac{625}{1296}\approx0{,}4823$ .
$P(X\geq1)=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx0{,}5177$ .

Pour « au moins un succès », on calcule $1-P(X=0)$ . On trouve environ $0{,}5177$ : un peu plus d'une chance sur deux.

Exercice 6 Lire une probabilité cumulée au tableur

★★☆Environ 12 min

Dans un tableur, on veut étudier $X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}3)$ .

Quelle instruction donne $P(X=2)$ ? Laquelle donne $P(X\leq2)$ ?
Calcule $P(X\leq2)$ à la main, au cent-millième.

Indice 1

Le dernier argument de LOI.BINOMIALE vaut FAUX ou VRAI.

Indice 2

$P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ .

Voir la correction pas à pas

Avec la syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX), on obtient la probabilité de $k$ succès ; avec VRAI, on obtient la probabilité cumulée.¹ Donc $P(X=2)$ s'obtient avec LOI.BINOMIALE(2 ; 5 ; 0,3 ; FAUX) et $P(X\leq2)$ avec LOI.BINOMIALE(2 ; 5 ; 0,3 ; VRAI).
$P(X=0)=0{,}7^5=0{,}16807$ .
$P(X=1)=5\times0{,}3\times0{,}7^4=5\times0{,}3\times0{,}2401=0{,}36015$ .
$P(X=2)=0{,}3087$ (voir l'exercice « Deux succès sur cinq »).
$P(X\leq2)=0{,}16807+0{,}36015+0{,}3087=0{,}83692$ .

La valeur cumulée est la somme des probabilités de 0 jusqu'à $k$ : ici $0{,}83692$ . Le tableur donne le même résultat avec VRAI.¹

Exercice 7 Contrôle de qualité

★★★Environ 14 min

Un atelier fabrique des objets dont 10 % sont défectueux, de façon indépendante. Un contrôleur prélève 6 objets. On note $X$ le nombre d'objets défectueux. Calcule la probabilité qu'au moins 2 objets soient défectueux, au millionième.

Indice 1

« Au moins 2 » a pour contraire « 0 ou 1 ».

Indice 2

Calcule séparément $P(X=0)$ et $P(X=1)$ .

Voir la correction pas à pas

$X\sim\mathcal{B}(6\,;0{,}1)$ .
$P(X=0)=0{,}9^6=0{,}531441$ .
$P(X=1)=\binom61\times0{,}1\times0{,}9^5=6\times0{,}1\times0{,}59049=0{,}354294$ .
$P(X\leq1)=0{,}531441+0{,}354294=0{,}885735$ .
$P(X\geq2)=1-0{,}885735=0{,}114265$ .

Le contraire de « au moins 2 » est « au plus 1 », deux termes seulement à calculer. Résultat : $0{,}114265$ , soit environ 11,4 %.

Exercice 8 Combien de lancers faut-il ?

★★★Environ 15 min

On lance $n$ fois un dé équilibré à 6 faces. On veut que la probabilité d'obtenir au moins un 1 soit supérieure ou égale à $0{,}9$ . Quelle est la plus petite valeur de $n$ ?

Indice 1

Écris $P(X\geq1)=1-\left(\frac56\right)^n$ et traduis l'inégalité voulue.

Indice 2

Teste des valeurs de $n$ à la calculatrice ou au tableur, en partant de 10.

Voir la correction pas à pas

$X\sim\mathcal{B}(n\,;\frac16)$ et $P(X\geq1)=1-\left(\frac56\right)^n$ .
On veut $1-\left(\frac56\right)^n\geq0{,}9$ , c'est-à-dire $\left(\frac56\right)^n\leq0{,}1$ .
Pour $n=12$ : $\left(\frac56\right)^{12}\approx0{,}1122$ , supérieur à $0{,}1$ : insuffisant.
Pour $n=13$ : $\left(\frac56\right)^{13}\approx0{,}0935$ , inférieur à $0{,}1$ : suffisant.
La suite $\left(\frac56\right)^n$ est décroissante, donc tous les $n\geq13$ conviennent. La plus petite valeur est $n=13$ .

Il faut au minimum 13 lancers pour avoir au moins 90 % de chances d'obtenir un 1. Ce genre de question se règle par essais successifs avec le tableur.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation relève de la loi binomiale ?

Vérifie trois points : chaque épreuve a deux issues (succès ou échec) avec une probabilité fixe, les épreuves sont indépendantes, et leur nombre $n$ est connu à l'avance. La variable compte alors les succès.² Si on s'arrête dès qu'on atteint un nombre de succès voulu, ce n'est plus une loi binomiale.³

Pourquoi passer par l'événement contraire ?

Pour « au moins un succès », il faudrait additionner $n$ probabilités. Le contraire, « aucun succès », ne demande qu'un calcul : $(1-p)^n$ . On écrit donc $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ .

Quelle différence entre FAUX et VRAI dans LOI.BINOMIALE ?

Avec FAUX (ou 0), le tableur renvoie la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès. Avec VRAI (ou 1), il renvoie la probabilité cumulée, c'est-à-dire $P(X\leq k)$ .¹

Sources

Ressources Lycée GT — Statistiques et probabilités, Académie de la Guyane. Consulté le 11 novembre 2026.
Loi binomiale, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Loi binomiale négative, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Loi binomiale : exercices corrigés de Terminale technologique

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Réflexes à avoir avant de calculer

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une loi binomiale

Exercice 2 Un arbre pour trois lancers

Exercice 3 Aucun succès

Exercice 4 Deux succès sur cinq

Exercice 5 Au moins un 1 en quatre lancers

Exercice 6 Lire une probabilité cumulée au tableur

Exercice 7 Contrôle de qualité

Exercice 8 Combien de lancers faut-il ?

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur