Le schéma de Bernoulli : cours de Terminale technologique

Un seul lancer de pièce ne raconte pas grand-chose. Mais dès que l'on lance la pièce plusieurs fois, de nouvelles questions apparaissent. Quelle est la chance d'obtenir pile à chaque fois ? Et celle d'obtenir pile exactement deux fois sur trois ?

Ces questions se posent partout : un contrôle qualité sur des pièces fabriquées en série, un sondage, un QCM rempli au hasard, un joueur qui tente plusieurs fois sa chance. Dans tous ces cas, on répète la même expérience et l'on s'intéresse au nombre de fois où un événement précis se produit.

Le schéma de Bernoulli est le modèle mathématique de ces situations. Le programme de Terminale technologique le présente comme un outil fondamental : une succession de $n$ épreuves identiques ¹. Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître un schéma de Bernoulli, à le représenter par un arbre, puis à calculer des probabilités.

Pour suivre ce chapitre, tu as besoin de ce que tu connais déjà : une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience, et l'espérance est sa valeur moyenne. Nous allons surtout réutiliser l'idée de probabilité d'un événement et la multiplication des probabilités le long d'un arbre.

Le chapitre suivant, consacré à la loi binomiale, s'appuiera entièrement sur ce que tu vas voir ici. Prends donc le temps de bien comprendre chaque étape.

Le mot « succès » est une convention. Il désigne simplement l'issue qui t'intéresse, même si ce n'est pas une bonne nouvelle dans la vie réelle. Tirer une pièce défectueuse peut être appelé « succès » si c'est cela que tu veux compter.

L'échec n'est pas une issue à part : c'est tout ce qui n'est pas le succès. Les deux probabilités s'additionnent donc toujours pour faire 1.

Deux conditions sont donc indispensables :

• les épreuves sont identiques : à chaque répétition, la probabilité du succès est la même, $p$ ;
• les épreuves sont indépendantes : le résultat de l'une ne change pas les chances des suivantes.

Le paramètre $n$ est le nombre de répétitions. Le paramètre $p$ est la probabilité du succès à chaque répétition.

Le mot « indépendantes » mérite qu'on s'y arrête. Deux épreuves sont indépendantes quand savoir comment la première s'est terminée ne t'apprend rien sur la seconde. Une pièce n'a pas de mémoire : même après cinq piles de suite, la chance d'obtenir pile au lancer suivant reste la même.

Pour se repérer, on construit un arbre de probabilité. Pour une seule épreuve, l'arbre a deux branches : une pour le succès, notée $S$, de probabilité $p$, et une pour l'échec, notée $E$, de probabilité $1-p$. Pour une répétition de l'épreuve, on accroche à chaque extrémité une nouvelle paire de branches, identique à la première.

Chaque chemin de l'arbre est une issue du schéma : une liste de $n$ lettres $S$ ou $E$. Par exemple, $SES$ signifie succès, puis échec, puis succès. On peut aussi écrire une issue sous la forme $(x_1, x_2, \dots, x_n)$, où $x_i$ est le résultat de la $i$-ème épreuve ¹.

En pratique, on s'intéresse rarement à une issue précise. On préfère répondre à des questions comme : quelle est la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès parmi les $n$ épreuves ? Le programme demande justement d'exprimer cette probabilité ¹. Le nombre de succès est une variable aléatoire, notons-la $X$. Elle suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ ² : ce sera l'objet du chapitre suivant.

Le tableau ci-dessus donne toutes les issues des trois tirages. En regroupant par nombre de succès, on obtient :

La somme vaut $0{,}343+0{,}441+0{,}189+0{,}027=1$, ce qui est normal : on a couvert tous les cas possibles. C'est un bon réflexe de vérification.

Le programme attend que tu saches modéliser une situation par un schéma de Bernoulli puis calculer une probabilité en utilisant l'indépendance ¹. Voici un exemple rédigé du début à la fin, comme tu le ferais sur ta copie.