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Schéma de Bernoulli : exercices corrigés de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 − p).
Un schéma de Bernoulli répète n fois cette épreuve, de façon indépendante et avec le même p.
La probabilité d'une suite précise de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Pour k succès, on compte les chemins de l'arbre qui en contiennent k, puis on multiplie ce nombre par la probabilité d'un chemin.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), sur papier, avec les indices si tu bloques. Lis la correction seulement après avoir écrit ta propre réponse, puis compare chaque étape.

Bien rédiger tes réponses

Au bac, une réponse juste mais sans justification perd des points. Pour chaque exercice de schéma de Bernoulli, prends l'habitude d'écrire quatre phrases courtes : la définition du succès, la valeur de $p$ , la mention des épreuves identiques et indépendantes, puis le nombre $n$ de répétitions. Ensuite seulement, tu passes au calcul.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une épreuve de Bernoulli

★☆☆Environ 5 min

Une urne contient 3 boules rouges et 9 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Le succès est « tirer une boule rouge ».

Pourquoi s'agit-il d'une épreuve de Bernoulli ?
Donne son paramètre $p$ puis la probabilité de l'échec.

Indice 1

Compte le nombre total de boules, puis le nombre de boules qui réalisent le succès.

Voir la correction pas à pas

Il y a deux issues seulement : tirer une rouge (succès) ou tirer une verte (échec). C'est donc bien une épreuve de Bernoulli.
L'urne contient $3+9=12$ boules, tirées au hasard : chacune a la même chance de sortir.
Le paramètre est $p=\frac{3}{12}=\frac14=0{,}25$ .
La probabilité de l'échec est $1-p=0{,}75$ , ce qui correspond bien à $\frac{9}{12}$ .

Le paramètre est $p=0{,}25$ et l'échec a pour probabilité $0{,}75$ .

Exercice 2 Probabilité d'une suite précise avec un dé

★☆☆Environ 8 min

On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, le succès est « obtenir un 6 ».

Justifie qu'on a un schéma de Bernoulli et donne $n$ et $p$ .
Calcule la probabilité d'obtenir, dans cet ordre, un succès, un échec, un échec. Arrondis au cent-millième.

Indice 1

Les lancers sont identiques et ne s'influencent pas.

Indice 2

Multiplie les trois probabilités dans l'ordre de la suite.

Voir la correction pas à pas

Le dé est lancé 3 fois dans les mêmes conditions et les lancers sont indépendants. Chaque lancer a deux issues : 6 ou pas 6. C'est un schéma de Bernoulli avec $n=3$ et $p=\frac16$ .
La probabilité de l'échec est $1-\frac16=\frac56$ .
La suite S, E, E a pour probabilité le produit des probabilités de ses composantes : $\frac16\times\frac56\times\frac56$ .
On calcule : $\frac{25}{216}\approx 0{,}11574$ .

La probabilité de la suite S, E, E est $\frac{25}{216}\approx 0{,}11574$ .

Exercice 3 Compter les rameaux d'un arbre

★☆☆Environ 5 min

On répète 5 fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli et on construit l'arbre complet.

Combien l'arbre compte-t-il de rameaux finaux ?
Que représente chacun de ces rameaux ?

Indice 1

À chaque épreuve, chaque branche se sépare en deux.

Voir la correction pas à pas

À chaque épreuve, le nombre de branches est multiplié par 2, puisqu'il y a deux issues possibles.
Après 5 épreuves, on a $2\times2\times2\times2\times2=2^5=32$ rameaux finaux.
Chaque rameau correspond à une suite de 5 résultats (succès ou échec) : par exemple S, E, E, S, E.

L'arbre compte $2^5=32$ rameaux finaux, un par suite possible de résultats.

Exercice 4 Aucun succès

★★☆Environ 8 min

Un joueur tente 4 fois de suite un tir. Chaque tir réussit avec la probabilité $0{,}2$ , indépendamment des autres.

Modélise la situation par un schéma de Bernoulli.
Calcule la probabilité qu'aucun tir ne réussisse.

Indice 1

« Aucun succès » correspond à une seule suite de résultats.

Voir la correction pas à pas

Chaque tir est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}2$ . Les 4 tirs sont identiques et indépendants : c'est un schéma de Bernoulli avec $n=4$ et $p=0{,}2$ .
« Aucun tir ne réussit » correspond à la seule suite E, E, E, E.
Un échec a pour probabilité $1-0{,}2=0{,}8$ .
On multiplie : $0{,}8\times0{,}8\times0{,}8\times0{,}8=0{,}8^4=0{,}4096$ .

La probabilité qu'aucun tir ne réussisse est $0{,}4096$ .

Exercice 5 Un QCM répondu au hasard

★★☆Environ 8 min

Un QCM comporte 5 questions. Chacune propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question, de façon indépendante.

Donne les paramètres $n$ et $p$ du schéma de Bernoulli, en prenant pour succès « la réponse est juste ».
Calcule la probabilité que toutes les réponses soient justes.

Indice 1

Sur une question, une seule réponse sur quatre est correcte.

Voir la correction pas à pas

Chaque question est une épreuve de Bernoulli. Comme l'élève choisit au hasard parmi 4 réponses, $p=\frac14$ .
Les 5 questions sont traitées dans les mêmes conditions et indépendamment : $n=5$ .
Toutes justes correspond à la suite S, S, S, S, S.
On multiplie : $\left(\frac14\right)^5=\frac{1}{1024}\approx 0{,}000977$ .

La probabilité d'avoir tout juste en répondant au hasard est $\frac{1}{1024}\approx 0{,}000977$ .

Exercice 6 Exactement un succès sur trois épreuves

★★☆Environ 10 min

On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ .

Écris toutes les suites qui contiennent exactement un succès.
Calcule la probabilité de chacune.
En déduis la probabilité d'obtenir exactement un succès.

Indice 1

Le succès peut apparaître à trois places différentes.

Indice 2

Les suites sont incompatibles : on additionne leurs probabilités.

Voir la correction pas à pas

Le succès peut être à la 1re, 2e ou 3e place : S, E, E ou E, S, E ou E, E, S.
Chaque suite contient un succès (probabilité $0{,}3$ ) et deux échecs (probabilité $0{,}7$ chacun). Sa probabilité est $0{,}3\times0{,}7\times0{,}7=0{,}147$ , quel que soit l'ordre.
Ces trois suites ne peuvent pas se produire en même temps. On additionne donc : $3\times0{,}147=0{,}441$ .

La probabilité d'obtenir exactement un succès est $0{,}441$ .

Exercice 7 Au moins un succès

★★★Environ 10 min

On lance 3 fois une pièce équilibrée. Le succès est « obtenir pile ».

Donne les paramètres du schéma de Bernoulli.
Quel est l'événement contraire de « obtenir au moins un pile » ?
Calcule la probabilité d'obtenir au moins un pile.

Indice 1

Passe par l'événement contraire : il correspond à une seule suite.

Voir la correction pas à pas

Les lancers sont identiques et indépendants, et la pièce est équilibrée : $n=3$ et $p=0{,}5$ .
Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire la suite E, E, E (trois fois face).
Sa probabilité est $0{,}5\times0{,}5\times0{,}5=0{,}125$ .
La probabilité cherchée est $1-0{,}125=0{,}875$ .

La probabilité d'obtenir au moins un pile en trois lancers est $0{,}875$ .

Exercice 8 Deux succès sur quatre épreuves

★★★Environ 15 min

On répète 4 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\frac14$ . On s'intéresse à l'événement « exactement 2 succès ».

Liste toutes les suites de 4 résultats qui contiennent exactement 2 succès.
Calcule la probabilité d'une de ces suites.
Déduis la probabilité de l'événement. Donne la valeur décimale.

Indice 1

Place les deux S dans les quatre positions, en les rangeant par ordre systématique.

Indice 2

Toutes les suites ont la même probabilité.

Voir la correction pas à pas

On place les deux succès : SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS. Il y a 6 suites.
Chaque suite a deux succès et deux échecs. Sa probabilité est $\left(\frac14\right)^2\times\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{256}$ .
Les suites sont incompatibles. On additionne : $6\times\frac{9}{256}=\frac{54}{256}=\frac{27}{128}$ .
En décimal, $\frac{27}{128}=0{,}2109375$ .

La probabilité d'obtenir exactement 2 succès est $\frac{27}{128}\approx0{,}2109$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation est un schéma de Bernoulli ?

Vérifie trois points. Chaque épreuve n'a que deux issues, succès ou échec. Les épreuves sont répétées dans les mêmes conditions, donc $p$ ne change pas. Elles sont indépendantes : le résultat de l'une n'influence pas les autres. ² Un tirage sans remise dans une urne ne convient pas, car la composition de l'urne change à chaque tirage.

Pourquoi multiplie-t-on les probabilités le long d'une branche ?

Les épreuves sont indépendantes. La probabilité d'une suite de résultats est donc le produit des probabilités de chaque résultat. ¹ Pour plusieurs suites différentes, on additionne ensuite leurs probabilités, car elles ne peuvent pas se produire en même temps.

Sources

Programme visé : Programme de Mathématiques - Terminale technologique - Probabilités et schéma de Bernoulli · Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale

Programme de Mathématiques - Terminale technologique - Probabilités et schéma de Bernoulli, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Épreuve de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Processus de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Les exercices

Exercice 1 Reconnaître une épreuve de Bernoulli

Exercice 2 Probabilité d'une suite précise avec un dé

Exercice 3 Compter les rameaux d'un arbre

Exercice 4 Aucun succès

Exercice 5 Un QCM répondu au hasard

Exercice 6 Exactement un succès sur trois épreuves

Exercice 7 Au moins un succès

Exercice 8 Deux succès sur quatre épreuves

Les questions qu'on se pose

Sources

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