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Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Variables aléatoires et espérance : cours de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire ; sa loi de probabilité liste les valeurs prises et leurs probabilités.
  • La somme des probabilités d'une loi vaut toujours 1.
  • Espérance : E(X)=x1p1+x2p2+⋯+xnpn=∑xipiE(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n=\sum x_ip_i 2.
  • L'espérance est la valeur moyenne obtenue en répétant l'expérience un très grand nombre de fois ; ce n'est pas forcément une valeur possible de XX.
  • Pour un jeu avec mise, on calcule l'espérance du gain algébrique (gain moins mise) : positive, le jeu avantage le joueur ; négative, il avantage l'organisateur ; nulle, il est équitable.

Pourquoi parler de variable aléatoire ?

Tu lances un dé, tu tires une carte, tu joues à un jeu de grattage. Le résultat dépend du hasard, et pourtant on aimerait savoir si le jeu vaut le coup. Pour cela, on transforme chaque résultat en nombre : une somme gagnée, un score, un nombre de points. Ce nombre est une variable aléatoire.

Dans ce chapitre, tu apprends à décrire une telle variable, à trouver sa valeur moyenne, puis à interpréter ce calcul avec des mots simples. Au programme de terminale technologique figure l'espérance d'une variable aléatoire discrète, pour des situations simples 2. Tu t'en serviras ensuite avec le schéma de Bernoulli et la loi binomiale.

Tu rencontreras trois types de situations : des lois données dans un tableau, des jeux d'argent avec une mise, et des énoncés où une probabilité manque. Pour chacune, la démarche reste la même : écrire la loi, vérifier que la somme fait 1, puis calculer et conclure par une phrase.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Loi du gain G au jeu de dé
Valeur de G (€)Issues du déP(G = valeur)
01, 2, 33/6
14, 52/6
561/6
Loi du gain G au jeu de dé · La somme des probabilités fait bien 1.

Lire un arbre de probabilité

Quand l'expérience comporte plusieurs étapes, un arbre de probabilité aide à construire la loi. Le programme demande d'ailleurs de savoir interpréter un événement du type {X=k}\{X=k\} sur un arbre 2. L'idée : chaque chemin de l'arbre est une issue, sa probabilité est le produit des probabilités écrites sur ses branches, et {X=k}\{X=k\} rassemble tous les chemins où XX vaut kk.

L'espérance : la définition et le calcul

Si tu joues très souvent au même jeu, quel gain moyen peux-tu espérer par partie ? L'espérance répond à cette question. Elle pèse chaque valeur par sa probabilité : une valeur rare compte peu, une valeur fréquente compte beaucoup.

Que signifie vraiment l'espérance ?

L'espérance n'est pas une prédiction pour une partie isolée. C'est une valeur moyenne à long terme. Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des résultats obtenus se rapproche de E(X)E(X). Les mathématiciens énoncent ce fait ainsi : la moyenne de nombreuses variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi converge vers leur espérance commune, lorsque celle-ci existe 5.

C'est aussi ce qu'illustrent les activités autour de la loterie proposées en classe de première : on y observe comment les moyennes calculées sur des échantillons fluctuent autour d'une valeur 1.

Jeux d'argent : gain algébrique et jeu équitable

Calculer l'espérance d'un gainQuatre étapes : écrire la loi, calculer les produits, additionner, interpréter le signe.1Écrire la loiValeurs de X et probabilités, somme égale à 1.2MultiplierCalculer chaque produit valeur × probabilité.3AdditionnerLa somme des produits donne E(X).4InterpréterSigne de E, unité, sens à long terme.
  1. Écrire la loiValeurs de X et probabilités, somme égale à 1.
  2. MultiplierCalculer chaque produit valeur × probabilité.
  3. AdditionnerLa somme des produits donne E(X).
  4. InterpréterSigne de E, unité, sens à long terme.
Calculer l'espérance d'un gain · La méthode en quatre temps.

Quand l'énoncé donne une loi incomplète

Il arrive qu'une probabilité soit inconnue. Comme la somme des probabilités vaut 1, on retrouve la valeur manquante. On peut aussi imposer une espérance et chercher une probabilité : on obtient alors une équation du premier degré.

Exercices corrigés

Exercice 1 Espérance d'une loi donnée

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire XX prend les valeurs 00, 11, 22 et 55 avec les probabilités 0,40{,}4, 0,30{,}3, 0,20{,}2 et 0,10{,}1. Vérifie que c'est une loi de probabilité, puis calcule E(X)E(X).

Indice 1

Additionne d'abord les probabilités.

Indice 2

Calcule chaque produit xi×pix_i\times p_i.

Voir la correction pas à pas

  1. Somme des probabilités : 0,4+0,3+0,2+0,1=10{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1=1. C'est bien une loi de probabilité.

  2. Produits : 0×0,4=00\times0{,}4=0 ; 1×0,3=0,31\times0{,}3=0{,}3 ; 2×0,2=0,42\times0{,}2=0{,}4 ; 5×0,1=0,55\times0{,}1=0{,}5.

  3. Somme : E(X)=0+0,3+0,4+0,5=1,2E(X)=0+0{,}3+0{,}4+0{,}5=1{,}2.

E(X)=1,2E(X)=1{,}2. Cette valeur n'est pas prise par XX, c'est normal : c'est une moyenne.

Exercice 2 Un jeu avec mise

★★☆Environ 10 min

Pour participer à un jeu, on paie 3 € de mise. On gagne ensuite 10 € avec une probabilité de 0,10{,}1, 4 € avec une probabilité de 0,30{,}3, et rien avec une probabilité de 0,60{,}6. Calcule l'espérance du gain algébrique et interprète-la.

Indice 1

Le gain algébrique est le gain moins la mise.

Indice 2

Tu peux calculer l'espérance du gain brut puis retirer 3.

Voir la correction pas à pas

  1. Gain algébrique GG : 10−3=710-3=7 avec 0,10{,}1 ; 4−3=14-3=1 avec 0,30{,}3 ; 0−3=−30-3=-3 avec 0,60{,}6.

  2. Vérification : 0,1+0,3+0,6=10{,}1+0{,}3+0{,}6=1.

  3. Calcul : E(G)=7×0,1+1×0,3+(−3)×0,6=0,7+0,3−1,8=−0,8E(G)=7\times0{,}1+1\times0{,}3+(-3)\times0{,}6=0{,}7+0{,}3-1{,}8=-0{,}8.

  4. Contrôle par l'autre méthode : gain brut moyen 10×0,1+4×0,3=2,210\times0{,}1+4\times0{,}3=2{,}2 ; puis 2,2−3=−0,82{,}2-3=-0{,}8.

E(G)=−0,8E(G)=-0{,}8 €. À long terme, le joueur perd en moyenne 0,80 € par partie : le jeu est favorable à l'organisateur.

Exercice 3 Trouver une probabilité inconnue

★★★Environ 12 min

Une variable aléatoire XX prend les valeurs 11, 22 et 44. On sait que P(X=1)=0,2P(X=1)=0{,}2, que P(X=2)=pP(X=2)=p et que P(X=4)=0,8−pP(X=4)=0{,}8-p. Détermine pp pour que E(X)=2,6E(X)=2{,}6.

Indice 1

Écris E(X)E(X) en fonction de pp.

Indice 2

Tu obtiens une équation du premier degré.

Voir la correction pas à pas

  1. Les trois probabilités ont une somme de 0,2+p+0,8−p=10{,}2+p+0{,}8-p=1, quelle que soit la valeur de pp.

  2. Espérance : E(X)=1×0,2+2×p+4×(0,8−p)=0,2+2p+3,2−4p=3,4−2pE(X)=1\times0{,}2+2\times p+4\times(0{,}8-p)=0{,}2+2p+3{,}2-4p=3{,}4-2p.

  3. On veut 3,4−2p=2,63{,}4-2p=2{,}6, donc 2p=0,82p=0{,}8.

  4. Donc p=0,4p=0{,}4. Contrôle : P(X=4)=0,4P(X=4)=0{,}4 et E=0,2+0,8+1,6=2,6E=0{,}2+0{,}8+1{,}6=2{,}6.

p=0,4p=0{,}4 : la loi est P(X=1)=0,2P(X=1)=0{,}2, P(X=2)=0,4P(X=2)=0{,}4, P(X=4)=0,4P(X=4)=0{,}4.

Quiz

7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Une variable aléatoire XX prend les valeurs 11, 22 et 33 avec les probabilités 0,50{,}5, 0,30{,}3 et 0,20{,}2. Que vaut E(X)E(X) ?

  2. L'espérance d'une variable aléatoire est toujours une valeur que cette variable peut prendre.

  3. Que représente l'espérance d'un gain dans un jeu ?

  4. Un jeu coûte 2 €. On tire une carte parmi 4 : l'as rapporte 6 €, les autres cartes rien. Quelle est l'espérance du gain algébrique, en euros ?

  5. Parmi ces tableaux, lequel peut être la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs 0, 1, 2 ?

  6. Un jeu a une espérance de gain algébrique égale à +0,40+0{,}40 € par partie. Que peut-on en conclure ?

  7. On perd 1 € avec probabilité 0,9 et on gagne 20 € avec probabilité 0,1. Que vaut l'espérance du gain, en euros ?

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'espérance peut-elle être un nombre que la variable ne prend jamais ?

Parce que c'est une moyenne pondérée, pas un résultat. Pour un dé, les valeurs possibles sont entières, mais la moyenne à long terme vaut 3,53{,}5. Quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des résultats se rapproche de l'espérance 5.

Comment vérifier qu'un tableau est bien une loi de probabilité ?

Contrôle deux choses : chaque probabilité est comprise entre 0 et 1, et leur somme vaut exactement 1. Si une des deux conditions manque, il y a une erreur, souvent une valeur oubliée ou un chemin d'arbre compté une fois seulement.

Que dois-je écrire pour calculer une espérance à l'examen ?

Écris la loi dans un tableau, la formule E(X)=∑xipiE(X)=\sum x_ip_i 2, le calcul détaillé terme à terme, puis le résultat avec son unité. Termine par une phrase d'interprétation, par exemple « en moyenne, le joueur perd 0,50 € par partie ».

Comment savoir si un jeu est avantageux pour le joueur ?

Calcule l'espérance du gain algébrique, mise comprise. Si elle est positive, le jeu avantage le joueur à long terme. Si elle est négative, il avantage l'organisateur. Si elle est nulle, le jeu est équitable.

À quoi sert l'espérance dans la suite du programme ?

Elle intervient pour la loi binomiale, étudiée ensuite : le programme prévoit le calcul de l'espérance pour une variable qui suit la loi B(n,p)B(n,p) 2. Elle sert aussi à comprendre comment des moyennes d'échantillons fluctuent autour d'une valeur 1.

Sources

  1. Programmes et ressources en mathématiques — Voie générale et technologique, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
  2. Programme de mathématiques de terminale technologique — PDF officiel, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
  3. Manuel Terminale — Variables aléatoires et espérance (pages 406/407), Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.
  4. Espérance conditionnelle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
  5. Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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