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Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Variables aléatoires et espérance : exercices de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience ; sa loi donne la probabilité de chaque valeur.
  • L'espérance se calcule en multipliant chaque valeur xix_i par sa probabilité pip_i, puis en additionnant : E(X)=∑xipiE(X)=\sum x_i p_i 2.
  • Avant de calculer, vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
  • Dans un jeu, l'espérance du gain net est la moyenne que l'on obtiendrait sur un très grand nombre de parties 5 ; si elle vaut 0, le jeu est équitable.
  • Pour une loi binomiale, l'événement {X=k}\{X=k\} s'interprète sur un arbre de probabilité 2.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices couvrent le calcul d'une espérance, la recherche d'une probabilité manquante, l'étude d'un jeu de hasard et un premier lien avec la loi binomiale. Ils sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), sur ta feuille, avec un tableau propre. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare ta démarche avec la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Espérance à partir d'un tableau

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire XX a la loi suivante :

xix_i 0 1 2 3
P(X=xi)P(X=x_i) 0,1 0,3 0,4 0,2

Calcule l'espérance E(X)E(X).

Indice 1

Multiplie chaque valeur par sa probabilité, ligne par ligne.

Indice 2

Vérifie d'abord que les probabilités s'additionnent bien à 1.

Voir la correction pas à pas

  1. Vérification de la loi : 0,1+0,3+0,4+0,2=10{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}2=1. Le tableau est bien une loi de probabilité.

  2. On écrit la formule : E(X)=0×0,1+1×0,3+2×0,4+3×0,2E(X)=0\times0{,}1+1\times0{,}3+2\times0{,}4+3\times0{,}2.

  3. On calcule chaque produit : 00 ; 0,30{,}3 ; 0,80{,}8 ; 0,60{,}6.

  4. On additionne : 0+0,3+0,8+0,6=1,70+0{,}3+0{,}8+0{,}6=1{,}7.

E(X)=1,7E(X)=1{,}7. En répétant l'expérience un grand nombre de fois, la valeur moyenne de XX se rapproche de 1,7, alors que XX ne prend jamais cette valeur.

Exercice 2 Le lancer d'un dé équilibré

★☆☆Environ 5 min

On lance un dé équilibré à six faces. Soit XX le numéro obtenu. Détermine la loi de XX, puis calcule E(X)E(X).

Indice 1

Chaque face a la même probabilité : combien vaut-elle ?

Indice 2

Pense à factoriser : 16(1+2+3+4+5+6)\frac16(1+2+3+4+5+6).

Voir la correction pas à pas

  1. Le dé est équilibré : chacune des six faces a pour probabilité 16\frac16. Donc P(X=k)=16P(X=k)=\frac16 pour kk de 1 à 6.

  2. On écrit E(X)=1×16+2×16+⋯+6×16E(X)=1\times\frac16+2\times\frac16+\dots+6\times\frac16.

  3. On factorise : E(X)=1+2+3+4+5+66E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}.

  4. On calcule : 216=3,5\frac{21}{6}=3{,}5.

E(X)=3,5E(X)=3{,}5. Aucun lancer ne donne 3,5 : c'est la moyenne obtenue sur un très grand nombre de lancers.

Exercice 3 Pile ou face avec une mise

★☆☆Environ 6 min

Un joueur mise 2 € puis lance une pièce équilibrée. Si elle tombe sur pile, il reçoit 5 € ; sinon il ne reçoit rien. Soit GG le gain net du joueur, mise comprise. Donne la loi de GG et calcule E(G)E(G).

Indice 1

Gain net = somme reçue − mise. Calcule-le dans chaque cas.

Indice 2

Les deux issues ont la probabilité 0,5.

Voir la correction pas à pas

  1. Si pile : le joueur reçoit 5 € et a misé 2 €, donc G=5−2=3G=5-2=3.

  2. Si face : il ne reçoit rien et a misé 2 €, donc G=0−2=−2G=0-2=-2.

  3. La pièce est équilibrée : P(G=3)=0,5P(G=3)=0{,}5 et P(G=−2)=0,5P(G=-2)=0{,}5.

  4. E(G)=3×0,5+(−2)×0,5=1,5−1=0,5E(G)=3\times0{,}5+(-2)\times0{,}5=1{,}5-1=0{,}5.

E(G)=0,5E(G)=0{,}5 €. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 0,50 € par partie : le jeu est à son avantage.

Exercice 4 Une probabilité manquante

★★☆Environ 8 min

Une variable aléatoire YY prend les valeurs −2-2, 00, 11 et 44 avec les probabilités respectives 0,20{,}2 ; aa ; 0,30{,}3 et 0,10{,}1. Détermine aa, puis calcule E(Y)E(Y).

Indice 1

La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut 1.

Indice 2

Une fois aa connu, la valeur 0 ne contribue pas à l'espérance, mais aa sert à vérifier la loi.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit la condition : 0,2+a+0,3+0,1=10{,}2+a+0{,}3+0{,}1=1, soit 0,6+a=10{,}6+a=1.

  2. On en déduit a=0,4a=0{,}4.

  3. On écrit E(Y)=−2×0,2+0×0,4+1×0,3+4×0,1E(Y)=-2\times0{,}2+0\times0{,}4+1\times0{,}3+4\times0{,}1.

  4. On calcule : −0,4+0+0,3+0,4=0,3-0{,}4+0+0{,}3+0{,}4=0{,}3.

a=0,4a=0{,}4 et E(Y)=0,3E(Y)=0{,}3. Attention au signe : la valeur négative −2-2 fait baisser l'espérance.

Exercice 5 Une tombola

★★☆Environ 10 min

Une tombola vend 200 billets à 2 € l'un. Un billet gagne 100 €, 4 billets gagnent 20 € chacun, 10 billets gagnent 5 € chacun, et les autres ne gagnent rien. Tu achètes un billet. Soit GG ton gain net en euros. Calcule E(G)E(G) et interprète le résultat.

Indice 1

Calcule d'abord la loi du gain brut : 100, 20, 5 ou 0, avec leurs probabilités sur 200 billets.

Indice 2

Soustrais la mise de 2 € à la fin, ou à chaque valeur.

Voir la correction pas à pas

  1. Gain brut : 100100 € avec la probabilité 1200\frac1{200}, 2020 € avec 4200\frac4{200}, 55 € avec 10200\frac{10}{200}, 00 € avec 185200\frac{185}{200}.

  2. Espérance du gain brut : 100×1+20×4+5×10200=230200=1,15\frac{100\times1+20\times4+5\times10}{200}=\frac{230}{200}=1{,}15.

  3. Le gain net vaut le gain brut moins 2 € : E(G)=1,15−2=−0,85E(G)=1{,}15-2=-0{,}85.

  4. Interprétation : en moyenne, un billet fait perdre 0,85 €.

E(G)=−0,85E(G)=-0{,}85 €. La tombola est défavorable au joueur : c'est normal, car l'organisateur doit financer les lots et dégager un bénéfice.

Exercice 6 Vers un jeu équitable

★★☆Environ 8 min

On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, on reçoit 12 € ; sinon on ne reçoit rien. Quelle mise mm rend le jeu équitable, c'est-à-dire d'espérance de gain net égale à 0 ?

Indice 1

Calcule d'abord l'espérance du gain brut.

Indice 2

Le gain net est le gain brut moins mm : résous E(brut)−m=0E(\text{brut})-m=0.

Voir la correction pas à pas

  1. Le 6 sort avec la probabilité 16\frac16 ; les autres faces avec 56\frac56.

  2. Espérance du gain brut : 12×16+0×56=212\times\frac16+0\times\frac56=2.

  3. Espérance du gain net : E=2−mE=2-m.

  4. Le jeu est équitable si 2−m=02-m=0, donc m=2m=2.

La mise équitable est de 2 €. Si on demande plus de 2 €, le jeu avantage l'organisateur ; si on demande moins, il avantage le joueur.

Exercice 7 Changer de variable : un tarif

★★☆Environ 10 min

Reprends la variable XX de l'exercice 1 (espérance 1,7). Un club facture à chaque participant Y=3X+2Y=3X+2 euros, où XX est le nombre de séances suivies. Détermine la loi de YY et calcule E(Y)E(Y) directement. Compare ensuite avec 3×E(X)+23\times E(X)+2.

Indice 1

Remplace XX par chaque valeur 0, 1, 2, 3 pour obtenir les valeurs de YY.

Indice 2

Les probabilités ne changent pas : à chaque valeur de XX correspond une valeur de YY.

Voir la correction pas à pas

  1. Valeurs de YY : 3×0+2=23\times0+2=2 ; 3×1+2=53\times1+2=5 ; 3×2+2=83\times2+2=8 ; 3×3+2=113\times3+2=11.

  2. Les probabilités sont celles de XX : 0,1 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,2.

  3. E(Y)=2×0,1+5×0,3+8×0,4+11×0,2=0,2+1,5+3,2+2,2=7,1E(Y)=2\times0{,}1+5\times0{,}3+8\times0{,}4+11\times0{,}2=0{,}2+1{,}5+3{,}2+2{,}2=7{,}1.

  4. Comparaison : 3×1,7+2=5,1+2=7,13\times1{,}7+2=5{,}1+2=7{,}1. Les deux résultats coïncident.

E(Y)=7,1E(Y)=7{,}1 €. Sur cet exemple, appliquer la même transformation à l'espérance de XX donne le même résultat que le calcul direct.

Exercice 8 Nombre de piles en trois lancers

★★★Environ 12 min

On lance trois fois une pièce équilibrée. Soit XX le nombre de piles obtenus. On représente l'expérience par un arbre de probabilité à trois niveaux.

  1. Combien de chemins de l'arbre réalisent l'événement {X=2}\{X=2\} ? Quelle est sa probabilité ?
  2. Donne la loi de XX.
  3. Calcule E(X)E(X).
Indice 1

Il y a 8 chemins en tout, chacun de probabilité 18\frac18. Compte ceux qui contiennent exactement deux P.

Indice 2

Les chemins à deux piles sont PPF, PFP et FPP.

Voir la correction pas à pas

  1. L'arbre a 2×2×2=82\times2\times2=8 chemins, tous de probabilité 12×12×12=18\frac12\times\frac12\times\frac12=\frac18.

  2. L'événement {X=2}\{X=2\} se lit sur l'arbre 2 : PPF, PFP, FPP, soit 3 chemins. Donc P(X=2)=38P(X=2)=\frac38.

  3. Loi de XX : P(X=0)=18P(X=0)=\frac18 ; P(X=1)=38P(X=1)=\frac38 ; P(X=2)=38P(X=2)=\frac38 ; P(X=3)=18P(X=3)=\frac18. Somme : 88=1\frac88=1.

  4. E(X)=0×18+1×38+2×38+3×18=0+3+6+38=128=1,5E(X)=0\times\frac18+1\times\frac38+2\times\frac38+3\times\frac18=\frac{0+3+6+3}{8}=\frac{12}{8}=1{,}5.

  5. On remarque que 1,5=3×0,51{,}5=3\times0{,}5 : trois lancers, une chance sur deux d'obtenir pile à chaque fois.

E(X)=1,5E(X)=1{,}5. Ce résultat se retrouve par le raisonnement : sur trois lancers, on obtient pile en moyenne une fois sur deux. Cette idée prépare la loi binomiale, où l'espérance se calcule à partir de nn et pp 2.

Exercice 9 Étudier une loterie

★★★Environ 12 min

Un ticket de loterie coûte 3 €. Il rapporte 1 000 € avec la probabilité 11000\frac1{1000}, 10 € avec la probabilité 150\frac1{50}, et rien sinon. Soit GG le gain net d'un joueur.

  1. Calcule E(G)E(G).
  2. L'organisateur vend 10 000 tickets. Quel bénéfice moyen peut-il attendre en euros ?
  3. Un joueur peut-il gagner de l'argent avec un seul ticket ? Que dit l'espérance ?
Indice 1

Les trois gains nets possibles sont 1000−31000-3, 10−310-3 et −3-3.

Indice 2

Pour la question 2, le bénéfice de l'organisateur est l'opposé du gain moyen des joueurs.

Voir la correction pas à pas

  1. Gains nets : 997997 € avec la probabilité 0,0010{,}001 ; 77 € avec 0,020{,}02 ; −3-3 € avec 1−0,001−0,02=0,9791-0{,}001-0{,}02=0{,}979.

  2. E(G)=997×0,001+7×0,02+(−3)×0,979=0,997+0,14−2,937=−1,8E(G)=997\times0{,}001+7\times0{,}02+(-3)\times0{,}979=0{,}997+0{,}14-2{,}937=-1{,}8.

  3. Sur 10 000 tickets, les joueurs perdent en moyenne 1,8×10 000=18 0001{,}8\times10\,000=18\,000 €. L'organisateur peut donc attendre un bénéfice moyen de 18 000 €.

  4. Avec un seul ticket, le joueur peut gagner : 997 € avec une faible probabilité. L'espérance ne dit pas ce qui arrive à un joueur seul, mais ce que donne la moyenne sur un très grand nombre de tickets 5.

E(G)=−1,8E(G)=-1{,}8 €. Un seul ticket peut rapporter beaucoup, mais sur un grand nombre de parties les pertes moyennes s'imposent : c'est ce qui rend ce jeu rentable pour l'organisateur.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si mon calcul d'espérance est plausible ?

L'espérance est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur prises par la variable. Si tes valeurs vont de −2-2 à 44, un résultat de 7 est forcément faux. Vérifie aussi que la somme des probabilités vaut 1 avant de calculer.

Que signifie une espérance négative dans un jeu ?

Elle signifie que, sur un très grand nombre de parties, le joueur perd de l'argent en moyenne 5. Cela n'interdit pas de gagner une partie isolée. Une espérance égale à 0 correspond à un jeu équitable, positive à un jeu favorable au joueur.

Que faut-il savoir de l'espérance pour le bac technologique ?

Il faut savoir calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète à partir de sa loi, avec la formule ∑xipi\sum x_ip_i 2. Il faut aussi savoir lire un arbre pour interpréter {X=k}\{X=k\} dans le cas d'une loi binomiale 2. Entraîne-toi à rédiger la loi sous forme de tableau, puis le calcul ligne par ligne.

Sources

  1. Programmes et ressources en mathématiques — Voie générale et technologique, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
  2. Programme de mathématiques de terminale technologique — PDF officiel, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
  3. Manuel Terminale — Variables aléatoires et espérance (pages 406/407), Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.
  4. Espérance conditionnelle, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
  5. Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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