Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Comportement à l'infini des suites : cours de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Étudier le comportement à l'infini d'une suite, c'est regarder ce que deviennent ses termes $u_n$ quand $n$ devient très grand : ils grandissent sans borne, deviennent très négatifs, ou se rapprochent d'un nombre.
Suite arithmétique de raison $r$ : $+\infty$ si $r>0$ , $-\infty$ si $r<0$ , constante si $r=0$ .
Suite géométrique $u_n=u_0\,q^n$ avec $q>0$ et $u_0>0$ : $+\infty$ si $q>1$ , limite $0$ si $0<q<1$ . Si $u_0<0$ , les signes des résultats s'inversent.
Pour un seuil, on cherche le plus petit rang $n$ qui dépasse une valeur donnée : par essais à la calculatrice ou avec une boucle en Python.
Une suite croissante n'a pas forcément pour limite $+\infty$ : elle peut se rapprocher d'un nombre sans le dépasser.

Introduction : regarder loin dans la suite

Quand on étudie une suite $(u_n)$ , on regarde souvent les premiers termes : $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ … Mais une vraie question se pose très vite : et si on va très loin ? Que vaut $u_{100}$ , $u_{1000}$ , $u_{1\,000\,000}$ ? Les valeurs deviennent-elles gigantesques ? Se stabilisent-elles autour d'un nombre ? Descendent-elles sans fin ?

C'est ce qu'on appelle le comportement à l'infini d'une suite. Dans la vie courante, la question est partout. Un capital placé à intérêts composés va-t-il croître sans limite ? Une quantité de médicament dans le sang va-t-elle disparaître peu à peu ? Un abonnement qui augmente d'une somme fixe chaque mois finira-t-il par coûter plus cher qu'un autre ?

Tu connais déjà deux familles de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Dans ce chapitre, tu apprends à prévoir ce qui leur arrive à l'infini, sans calculer des milliers de termes.

Le symbole $\infty$ , que tu vas croiser tout au long du chapitre, représente l'infini ². Il a été inventé par John Wallis, en 1655, dans un ouvrage sur les sections coniques ². Wallis l'a donc employé avant Jacques Bernoulli, né en 1654, qui l'utilisera plus tard ². Au XVIIIe siècle, Leonhard Euler utilisait une version ouverte de ce signe, qu'il appelait « absolutus infinitus » ². Selon la police de caractères, le dessin du symbole change un peu ². Il ressemble d'ailleurs au signe de proportionnalité $\propto$ ². Curiosité : dans les notices biographiques, on le place parfois à côté d'une date pour indiquer celle d'un mariage ².

Attention : malgré son apparence, ce n'est pas un nombre. C'est un signe qui permet d'écrire qu'une suite dépasse tout nombre fixé à l'avance.

Les ressources d'accompagnement de la voie technologique, publiées par Éduscol, traitent aussi de la fonction inverse près des bornes de son ensemble de définition ¹. La démarche ressemble à celle des suites : on observe ce qui arrive quand la variable devient très grande ou s'approche d'une valeur interdite.

Que veut dire « tendre vers l'infini » ?

Les deux mots importants sont « aussi grands qu'on le veut » et « le restent ». Il ne suffit pas qu'un seul terme soit très grand. Il faut que, passé un certain rang, tous les termes suivants le soient.

Prends $u_n=n^2$ comme image mentale. Si on te fixe $A=10\,000$ , tu peux répondre : à partir de $n=101$ , on a $u_n>10\,000$ , car $101^2=10\,201$ . Si on te fixe $A=1\,000\,000$ , tu réponds : à partir de $n=1\,001$ . Tu trouves toujours un rang. C'est cela, tendre vers $+\infty$ .

Les suites arithmétiques à l'infini

Rappel : une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ :

$u_{n+1}=u_n+r.$

Son terme général s'écrit $u_n=u_0+n\,r$ . C'est la formule d'une fonction affine de la variable $n$ , et c'est ce qui rend l'étude très simple.

Démonstration · Pourquoi ça marche (cas $r>0$)

On se donne un nombre $A$ aussi grand qu'on veut. On cherche à quelle condition $u_n>A$ .

$u_0+n\,r>A \iff n\,r>A-u_0 \iff n>\frac{A-u_0}{r}$

la dernière équivalence venant du fait qu'on divise par $r>0$ , ce qui ne change pas le sens de l'inégalité. Donc dès que $n$ dépasse le nombre $\frac{A-u_0}{r}$ , on a $u_n>A$ , et cela reste vrai pour tous les rangs suivants. Les termes dépassent n'importe quel $A$ : la limite est $+\infty$ .

Pour $r<0$ , on divise par un nombre négatif, l'inégalité change de sens, et on montre de la même façon que les termes passent sous n'importe quel nombre négatif fixé.

Les suites géométriques à l'infini

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ quand on passe d'un terme au suivant en multipliant par $q$ :

$u_{n+1}=q\,u_n.$

Son terme général est $u_n=u_0\,q^n$ . Cette fois la variable $n$ est en exposant : les termes évoluent beaucoup plus vite que pour une suite arithmétique. Dans ce chapitre, on se place le plus souvent avec une raison $q>0$ et un premier terme $u_0>0$ .

PropriétéLimite d'une suite géométrique ($q>0$)

Soit $(u_n)$ géométrique, de raison $q>0$ et de premier terme $u_0$ , soit $u_n=u_0\,q^n$ .

Raison	Si $u_0>0$	Si $u_0<0$
$q>1$	$+\infty$	$-\infty$
$q=1$	constante $u_0$	constante $u_0$
$0<q<1$	$0$	$0$

Limites des suites géométriques de raison positive
Raison q	Si u_0 > 0	Si u_0 < 0
q > 1	+∞	-∞
q = 1	constante	constante
0 < q < 1	0	0

Limites des suites géométriques de raison positive · Cas d'une raison strictement positive.

Comprends d'abord l'idée, puis retiens le tableau. Multiplier par un nombre plus grand que $1$ agrandit un nombre positif à chaque étape : il finit par exploser. Multiplier par un nombre entre $0$ et $1$ le réduit à chaque étape : il s'écrase vers $0$ sans jamais devenir négatif, puisque $q>0$ et $u_0>0$ donnent des termes positifs.

Le premier terme joue un rôle de signe uniquement. Si $u_0<0$ , tous les termes ont le signe opposé à celui du cas $u_0>0$ : ils partent vers $-\infty$ quand $q>1$ . Mais quand $0<q<1$ , multiplier $q^n$ par $u_0<0$ ne change rien au fait que $q^n$ tend vers $0$ : le produit tend vers $0$ aussi.

Chercher un seuil

Écrire u_nChoisir la formule arithmétique ou géométrique
Poser l'inégalitéPar exemple u_n > A
Résoudre ou testerInéquation ou essais à la calculatrice
VérifierContrôler les deux rangs voisins

Chercher un seuil · Méthode pour un seuil.

MéthodeAvec Python

Voici une boucle qui renvoie le premier rang où le capital dépasse un objectif :

def seuil(objectif):
    n = 0
    u = 1000
    while u <= objectif:
        u = u * 1.05
        n = n + 1
    return n

L'appel seuil(2000) renvoie 15. La boucle s'arrête dès que la condition u <= objectif devient fausse, donc au premier terme strictement supérieur à l'objectif. Pour une suite qui décroît, on inverse la condition : on boucle tant que u >= seuil_bas.

Pièges classiques et raisonnement

Applications : problèmes concrets

Les problèmes de bac ou de contrôle reprennent presque toujours la même trame : une situation concrète, une modélisation par une suite, puis une question sur le comportement à long terme ou sur un seuil. Voici comment lire ces énoncés.

ExempleComparer deux évolutions

Deux salaires partent de $1\,500$ €. Le premier augmente de $30$ € par an : $a_n=1\,500+30n$ . Le second augmente de $1\,\%$ par an : $b_n=1\,500\times1{,}01^n$ .

Les deux tendent vers $+\infty$ . Mais l'écart se creuse à long terme : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ finit toujours par dépasser une suite arithmétique de raison positive. À $n=10$ , $a_{10}=1\,800$ et $b_{10}\approx1\,657$ : l'arithmétique est devant. À $n=40$ , $a_{40}=2\,700$ et $b_{40}\approx2\,233$ : toujours devant. Mais pour $n$ très grand, la suite géométrique reprend le dessus, car $1{,}01^n$ finit par grandir plus vite que n'importe quelle fonction affine.

Récapitulatif et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Seuil d'une suite arithmétique

★☆☆Environ 8 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=12-3n$ pour tout entier naturel $n$ .

Quelle est la nature de la suite et quelle est sa limite ?
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n<-100$ .

Indice 1

Repère la raison : le coefficient de $n$ .

Indice 2

Résous $12-3n<-100$ et divise par un nombre négatif.

Voir la correction pas à pas

La formule $u_n=12-3n$ est de la forme $u_0+nr$ avec $u_0=12$ et $r=-3$ : la suite est arithmétique de raison $-3$ .
La raison est négative, donc $\lim u_n=-\infty$ .
On résout $12-3n<-100$ , soit $-3n<-112$ .
On divise par $-3$ et on change le sens : $n>\frac{112}{3}\approx37{,}33$ .
Le plus petit entier est $n=38$ .
Vérification : $u_{37}=12-111=-99$ , qui n'est pas inférieur à $-100$ , et $u_{38}=12-114=-102<-100$ .

La suite est arithmétique de raison $-3$ , de limite $-\infty$ , et le plus petit rang tel que $u_n<-100$ est $n=38$ .

Exercice 2 Capital et intérêts composés

★★☆Environ 10 min

Un capital de $2\,000$ € est placé à $3\,\%$ par an à intérêts composés. On note $C_n$ le capital après $n$ années, avec $C_0=2\,000$ .

Exprimer $C_n$ en fonction de $n$ .
Quelle est la limite de $C_n$ ?
Déterminer à partir de quelle année le capital dépasse $3\,000$ €.

Indice 1

Une hausse de $3\,\%$ multiplie par $1+0{,}03$ .

Indice 2

Teste des valeurs de $n$ à la calculatrice autour de $13$ et $14$ .

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $3\,\%$ revient à multiplier par $1{,}03$ : la suite est géométrique de raison $q=1{,}03$ .
Donc $C_n=2\,000\times1{,}03^n$ .
Comme $q>1$ et $C_0>0$ , on a $\lim C_n=+\infty$ .
On cherche le plus petit $n$ tel que $2\,000\times1{,}03^n>3\,000$ , soit $1{,}03^n>1{,}5$ .
À la calculatrice : $1{,}03^{13}\approx1{,}4685<1{,}5$ .
Puis $1{,}03^{14}\approx1{,}5126>1{,}5$ .
Le seuil est donc $n=14$ : c'est à partir de la 14e année que le capital dépasse $3\,000$ €. En effet $C_{14}\approx3\,025{,}18$ €.

On a $C_n=2\,000\times1{,}03^n$ , de limite $+\infty$ , et le capital dépasse $3\,000$ € à partir de $n=14$ ans.

Exercice 3 Une quantité qui tend vers 0

★★★Environ 12 min

Une substance se désintègre : chaque heure, il reste la moitié de la quantité de l'heure précédente. La quantité initiale est de $4$ grammes. On note $m_n$ la quantité restante après $n$ heures.

Exprimer $m_n$ en fonction de $n$ et donner sa limite.
Déterminer le plus petit nombre entier d'heures $n$ tel que $m_n<0{,}001$ gramme.

Indice 1

Diviser par $2$ , c'est multiplier par $0{,}5$ .

Indice 2

$m_n<0{,}001$ équivaut à $2^n>4\,000$ : compare avec les puissances de $2$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque heure on multiplie par $0{,}5$ : $(m_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $4$ .
Donc $m_n=4\times0{,}5^n$ .
Comme $0<0{,}5<1$ , $\lim m_n=0$ .
L'inégalité $4\times0{,}5^n<0{,}001$ s'écrit $0{,}5^n<0{,}00025$ , ou encore $2^n>4\,000$ (on prend l'inverse).
Les puissances de $2$ : $2^{11}=2\,048<4\,000$ et $2^{12}=4\,096>4\,000$ .
Le plus petit entier est $n=12$ .
Vérification : $m_{11}=\frac{4}{2\,048}\approx0{,}00195>0{,}001$ et $m_{12}=\frac{4}{4\,096}\approx0{,}000977<0{,}001$ .

On a $m_n=4\times0{,}5^n$ , de limite $0$ , et la quantité passe sous $0{,}001$ gramme après $12$ heures.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir rapidement si une suite géométrique tend vers l'infini ou vers 0 ?

Regarde la raison $q$ (supposée positive). Si $q>1$ , les termes sont multipliés par un nombre plus grand que $1$ à chaque étape : ils s'agrandissent, vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe du premier terme. Si $0<q<1$ , les termes sont réduits à chaque étape : ils se rapprochent de $0$ .

Pourquoi une suite géométrique de raison 1,01 finit-elle par dépasser une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique ajoute un nombre fixe à chaque étape. Une suite géométrique de raison supérieure à $1$ ajoute une part de plus en plus grosse, puisque $1\,\%$ d'un terme qui grandit représente de plus en plus. À long terme, le gain de la géométrique l'emporte, même si la suite arithmétique est devant au début.

Quand j'écris une limite, dois-je écrire +∞ ou ∞ ?

Écris $+\infty$ quand les termes deviennent très grands positifs et $-\infty$ quand ils deviennent très négatifs. Tu donnes ainsi le sens du comportement. Écrire seulement $\infty$ est ambigu.

Une suite qui tend vers 0 finit-elle par valoir exactement 0 ?

Non. Une suite comme $80\times0{,}9^n$ reste strictement positive pour tous les rangs. Elle s'approche de $0$ autant qu'on le veut, mais ne l'atteint pas. La limite décrit une approche, pas une arrivée.

Comment trouver un seuil si l'énoncé ne donne pas de programme ?

Écris l'inégalité demandée. Pour une suite arithmétique, résous-la comme une inéquation. Pour une suite géométrique, utilise le tableau de valeurs de la calculatrice et repère le premier rang qui convient. Contrôle toujours les deux rangs voisins.

Sources

Ressources d'accompagnement mathématiques - Voie technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Infini (symbole), Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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