Comportement à l'infini : fiche de Terminale technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier le comportement à l'infini d'une suite, c'est regarder ce que deviennent les termes un quand n devient de plus en plus grand.
Trois cas : les termes grandissent sans borne (vers +∞), ils se rapprochent d'un nombre fixe (convergence), ou ils ne se stabilisent pas.
On le devine avec un tableau de valeurs (rang 10, 100, 1000…), on le justifie par la forme de la suite.
Piège : une suite qui augmente ne tend pas forcément vers +∞ ; elle peut se rapprocher d'un nombre sans le dépasser.
L'idée : que devient $u_n$ quand $n$ grandit ?
Une suite est une liste de nombres u0,u1,u2,… rangés dans l'ordre. Jusqu'ici, tu as calculé des termes précis, par exemple u5 ou u12. Étudier le comportement à l'infini, c'est poser une autre question : si on avance très loin dans la liste, vers quoi vont les valeurs ?
Les trois comportements, avec des valeurs
Le plus simple est de calculer quelques termes très éloignés et de regarder la tendance.
Le cas des suites géométriques
Pour une suite géométrique un=u0×qn avec u0>0, tout dépend de la raison q. On le constate sur des exemples.
Les pièges à éviter
À retenir pour le bac
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On remplace n par 100 : 3×100+2=302. L'erreur tentante est de calculer 3×101+2=305 ou d'oublier le +2 (ce qui donne 300).
La raison 0,5 divise chaque terme par 2 : les valeurs diminuent et se collent à 0. Elles ne tendent pas vers +∞, car la raison est inférieure à 1. Le nombre 5 n'est que le premier terme, pas la valeur vers laquelle on va. Il n'y a pas d'alternance, car la raison est positive.
Les termes valent 1,−1,1,−1,… : ils ne s'approchent jamais de 0 et n'ont aucune limite. Leur valeur absolue reste égale à 1.
La suite 4−n+11 augmente toujours mais reste sous 4 : elle se rapproche de 4. Une raison négative donne au contraire une suite décroissante. Et une suite croissante peut très bien avoir une limite, finie ou non.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une suite géométrique tend vers $+\infty$ ou vers $0$ ?
Regarde la raison q, pour un premier terme positif. Si q>1, chaque terme est plus grand que le précédent et les valeurs explosent, comme 2×1,5n. Si 0<q<1, chaque terme est plus petit et les valeurs se collent à 0, comme 5×0,5n. Calcule deux ou trois termes éloignés pour vérifier.
Le symbole $\infty$ est-il un nombre ?
Non. Il exprime l'idée d'aller toujours plus loin, jamais une valeur que l'on atteint. C'est pourquoi on écrit « n tend vers +∞ » et jamais « n est égal à +∞ ». Ce signe a été introduit par John Wallis en 1655.2
Qu'est-ce qui tombe au bac sur ce sujet ?
On te demande en général de calculer des termes éloignés, de décrire la tendance (grandit, se rapproche d'un nombre, alterne) et de conclure avec la notation lim. Rédige chaque étape : valeurs calculées, observation, phrase de conclusion.