Comportement à l'infini des suites : exercices de Terminale techno

On traduit la question : on cherche le plus petit entier $n$ tel que $5 + 3n > 100$.

On soustrait 5 aux deux membres : $3n > 95$.

On divise par 3, qui est positif, donc le sens ne change pas : $n > \dfrac{95}{3} \approx 31{,}67$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $31{,}67$ est 32.

Vérification : $u_{31} = 5 + 93 = 98$, qui ne dépasse pas 100, et $u_{32} = 5 + 96 = 101$, qui dépasse 100.

On écrit l'inégalité : $200 - 4n < -50$.

On soustrait 200 aux deux membres : $-4n < -250$.

On divise par $-4$, qui est négatif, donc on inverse le sens : $n > \dfrac{250}{4} = 62{,}5$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $62{,}5$ est 63.

Vérification : $v_{62} = 200 - 248 = -48$, qui n'est pas inférieur à $-50$ ; $v_{63} = 200 - 252 = -52$, qui l'est.

On écrit l'inégalité : $2 \times 1{,}5^n > 1\,000$.

On divise par 2 : $1{,}5^n > 500$.

On teste à la calculatrice : $1{,}5^{10} \approx 57{,}7$, c'est trop petit ; $1{,}5^{15} \approx 437{,}9$, c'est encore trop petit.

On continue : $1{,}5^{16} \approx 656{,}8$, qui dépasse 500.

Vérification avec la suite : $w_{15} \approx 875{,}8$ ne dépasse pas 1 000, et $w_{16} \approx 1\,313{,}6$ le dépasse.

On écrit l'inégalité : $800 \times 0{,}5^n < 1$.

Comme $0{,}5^n = \dfrac{1}{2^n}$, l'inégalité devient $\dfrac{800}{2^n} < 1$, soit $2^n > 800$.

On teste les puissances de 2 : $2^9 = 512$, qui ne dépasse pas 800 ; $2^{10} = 1\,024$, qui le dépasse.

Vérification : $t_9 = \dfrac{800}{512} = 1{,}5625$, pas encore inférieur à 1 ; $t_{10} = \dfrac{800}{1024} \approx 0{,}78$, inférieur à 1.

Une hausse de 4 % revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$ : la suite est géométrique, de raison $1{,}04$ et de premier terme 1 500. Donc $C_n = 1\,500 \times 1{,}04^n$.

On veut $1\,500 \times 1{,}04^n > 2\,000$, c'est-à-dire $1{,}04^n > \dfrac{4}{3} \approx 1{,}3333$.

On teste à la calculatrice : $1{,}04^5 \approx 1{,}2167$ ; $1{,}04^7 \approx 1{,}3159$ ; ces valeurs sont trop petites.

On teste ensuite $1{,}04^8 \approx 1{,}3686$, qui dépasse $1{,}3333$.

Vérification en euros : $C_7 \approx 1\,973{,}90$ €, sous 2 000 € ; $C_8 \approx 2\,052{,}85$ €, au-dessus.

Une baisse de 3 % revient à multiplier par $0{,}97$. La suite est géométrique, de premier terme 12 000 et de raison $0{,}97$ : $P_n = 12\,000 \times 0{,}97^n$.

On veut $12\,000 \times 0{,}97^n < 9\,000$, soit $0{,}97^n < 0{,}75$.

On teste à la calculatrice : $0{,}97^5 \approx 0{,}8587$ ; $0{,}97^9 \approx 0{,}7602$ ; ces valeurs sont encore au-dessus de $0{,}75$.

On teste $0{,}97^{10} \approx 0{,}7374$, qui passe sous $0{,}75$.

Vérification en habitants : $P_9 \approx 9\,122$, au-dessus de 9 000 ; $P_{10} \approx 8\,849$, en dessous.