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Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Estimation et intervalles de fluctuation : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Un intervalle de fluctuation prévoit où tombe la fréquence d'un échantillon quand la proportion p est connue ; le seuil usuel est 95 %.
  • Pour n≥25n \geq 25 et 0,2≤p≤0,80{,}2 \leq p \leq 0{,}8 : I=[p−1n ; p+1n]I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \ ; \ p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].
  • Un intervalle de confiance sert quand p est inconnue : on part de la fréquence observée ff et on obtient [f−1n ; f+1n]\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \ ; \ f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].
  • Règle de décision : ff dans l'intervalle de fluctuation, on ne rejette pas l'hypothèse ; ff en dehors, on la rejette avec un risque d'erreur contrôlé.
  • Plus l'échantillon est grand, plus les intervalles sont étroits : la largeur est 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}}.

Introduction : pourquoi encadrer une fréquence ?

Tu lances une pièce 100 fois et tu obtiens 58 fois « face ». La pièce est-elle truquée ? Un sondage donne 52 % d'opinions favorables sur 1 000 personnes : peut-on affirmer que la majorité de la population est favorable ? Dans les deux cas, à cause du hasard de l'échantillonnage, la fréquence observée tombe rarement pile sur la valeur théorique. La vraie question est donc : cet écart est-il normal, ou trop grand pour être dû au hasard seul ?

Pour y répondre, la statistique utilise des intervalles. Un intervalle de fluctuation, qu'on appelle aussi intervalle de pari, est une plage de valeurs où l'on s'attend à trouver la grandeur observée, avec une probabilité élevée, fixée très souvent à 95 % 2. Il aide à trancher en maîtrisant le risque de se tromper 2. Dans ce cours, tu vas apprendre à le construire, à l'utiliser pour décider, puis à passer à son pendant, l'intervalle de confiance, qui sert à estimer une proportion inconnue.

Ce chapitre s'appuie sur ce que tu connais déjà : la loi binomiale (nombre de succès dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes), les lois à densité et leurs paramètres. Nous n'aurons besoin que de la formule simplifiée du programme, mais comprendre d'où elle vient t'évitera de l'appliquer à contresens.

Échantillon, fréquence observée et fluctuation d'échantillonnage

Si tu recommences le prélèvement, tu n'obtiens pas la même valeur de ff. Cette variation d'un échantillon à l'autre s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. La fréquence ff est donc une variable aléatoire, alors que pp est un nombre fixe (connu ou non).

Le lien avec la loi binomiale est direct : le nombre de réponses positives suit une loi binomiale de paramètre pp, de moyenne npnp et d'écart type np(1−p)\sqrt{np(1-p)} 3. En divisant par nn, on obtient la fréquence ff, dont l'écart type vaut σ=p(1−p)n\sigma = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} 3. Remarque que σ\sigma diminue quand nn augmente : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se concentre autour de pp.

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Pour le construire, on écarte les valeurs extrêmes dont la probabilité cumulée est inférieure à 2,5 % de chaque côté 2. Le résultat exact vient de la loi binomiale. Quand l'échantillon est assez grand, cette loi est bien approchée par une loi normale grâce au théorème central limite, ce qui donne une formule explicite 2.

Construire et utiliser un intervalle de fluctuationCinq étapes successives : identifier p et n, vérifier les conditions, calculer les bornes, calculer la fréquence observée, conclure.1IdentifierRelever p (proportion connue) et n (taille de l'échantillon).2VérifierContrôler n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8.3CalculerBornes : p − 1/√n et p + 1/√n.4ObserverCalculer la fréquence f = succès / n.5Concluref dans l'intervalle : on garde ; sinon on rejette.
  1. IdentifierRelever p (proportion connue) et n (taille de l'échantillon).
  2. VérifierContrôler n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8.
  3. CalculerBornes : p − 1/√n et p + 1/√n.
  4. ObserverCalculer la fréquence f = succès / n.
  5. Concluref dans l'intervalle : on garde ; sinon on rejette.
Construire et utiliser un intervalle de fluctuation · Méthode complète pour décider si une fréquence observée est compatible avec une proportion donnée.

Utiliser l'intervalle de fluctuation pour décider

L'intervalle de fluctuation est un outil précieux, car il autorise une décision dont le risque d'erreur est maîtrisé 2. L'idée est celle d'un pari : on suppose que la proportion vaut pp, on calcule où la fréquence devrait se trouver, puis on compare avec ce qu'on observe.

L'intervalle de confiance : estimer une proportion inconnue

Dans un sondage, personne ne connaît la vraie proportion pp de la population favorable à une mesure. On interroge nn personnes et on obtient une fréquence ff. On cherche alors un intervalle qui contienne pp avec une bonne probabilité. Estimer par intervalle consiste à trouver un intervalle contenant un paramètre inconnu avec un niveau de confiance de 1−α1 - \alpha 3.

Le lien avec l'intervalle de fluctuation est précis : en renversant les inégalités d'un intervalle de fluctuation, on obtient l'expression d'un intervalle de confiance 3. Voici le raisonnement. Si ff est dans l'intervalle de fluctuation, alors :

p−1n≤f≤p+1np - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq f \leq p + \frac{1}{\sqrt{n}}

En isolant pp dans chaque inégalité, on obtient f−1n≤p≤f+1nf - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq p \leq f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Les rôles de pp et de ff sont simplement échangés.

Démonstration · Passage de la fluctuation à la confiance

Partons de ∣f−p∣≤1n|f - p| \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}, qui exprime que ff appartient à l'intervalle de fluctuation.

Cette inégalité équivaut à −1n≤f−p≤1n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq f - p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

En multipliant par −1-1 (ce qui inverse les inégalités) : −1n≤p−f≤1n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq p - f \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

En ajoutant ff : f−1n≤p≤f+1nf - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq p \leq f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Les deux événements « ff est dans l'intervalle de fluctuation » et « pp est dans l'intervalle de confiance » sont donc les mêmes : ils ont la même probabilité, d'au moins 95 %.

Fluctuation ou confiance : ne pas confondre

Ces deux intervalles se ressemblent beaucoup dans l'écriture, ce qui provoque des confusions fréquentes. Il ne faut pas les mélanger : l'intervalle de fluctuation découle du paramètre et encadre une variable aléatoire 3. L'intervalle de confiance, lui, est construit à partir d'une observation pour encadrer le paramètre inconnu. Le tableau ci-dessous résume les différences.

Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance
CritèreFluctuationConfiance
Proportion pConnueInconnue
Valeur de départpf (fréquence observée)
Centre de l'intervallepf
Formule (95 %)[p − 1/√n ; p + 1/√n][f − 1/√n ; f + 1/√n]
Ce qu'il encadreLa fréquence d'un échantillonLa proportion p de la population
UsageTester une hypothèse, déciderEstimer p
Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance · À retenir pour ne plus les confondre.

Taille de l'échantillon, niveau de confiance et précision

La largeur de l'intervalle de confiance vaut 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}}. Pour un niveau de confiance fixé, quand le nombre de personnes sondées augmente, l'intervalle se resserre autour de ff 3. La précision d'un sondage dépend donc de nn, pas de la taille de la population totale.

Démonstration · Taille minimale pour une précision donnée

On veut 2n≤a\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq a avec a>0a > 0.

Comme n>0\sqrt{n} > 0, cela équivaut à n≥2a\sqrt{n} \geq \dfrac{2}{a}.

La fonction carré est croissante sur [0 ;+∞[[0 \ ; +\infty[, donc n≥4a2n \geq \dfrac{4}{a^2}.

Si l'on exige un niveau de confiance plus élevé, la construction avec la loi normale fait intervenir une valeur kk lue dans les tables de la loi normale centrée réduite, qui est d'autant plus grande que le niveau de confiance est élevé 3. Le prix d'une plus grande certitude est donc un intervalle plus large. Au programme, le niveau de 95 % et la formule en 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} suffisent.

Erreurs fréquentes et conseils de rédaction

Exercices corrigés

Exercice 1 Un lot de jetons est-il conforme ?

★☆☆Environ 10 min

Un fabricant affirme que 20 % des jetons d'un jeu portent un symbole bonus, soit p=0,2p = 0{,}2. On prélève un lot de 400 jetons au hasard.

  1. Vérifie que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
  2. Détermine cet intervalle.
  3. Dans le lot, 96 jetons portent le symbole bonus. Que peux-tu conclure sur l'affirmation du fabricant ? Donne en réponse la borne supérieure de l'intervalle.
Indice 1

Calcule d'abord 1400\frac{1}{\sqrt{400}}.

Indice 2

Pour conclure, calcule la fréquence f=96400f = \frac{96}{400} et compare-la aux bornes.

Voir la correction pas à pas

  1. Conditions : n=400≥25n = 400 \geq 25 et 0,2≤p=0,2≤0,80{,}2 \leq p = 0{,}2 \leq 0{,}8. Elles sont vérifiées, on peut utiliser la formule.

  2. On calcule 1400=120=0,05\frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05.

  3. Les bornes sont 0,2−0,05=0,150{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15 et 0,2+0,05=0,250{,}2 + 0{,}05 = 0{,}25 : I=[0,15 ; 0,25]I = [0{,}15 \ ; \ 0{,}25].

  4. La fréquence observée est f=96400=0,24f = \frac{96}{400} = 0{,}24.

  5. Comme 0,24∈[0,15 ; 0,25]0{,}24 \in [0{,}15 \ ; \ 0{,}25], on ne rejette pas l'affirmation du fabricant au seuil de 95 %.

La fréquence observée 0,24 est dans l'intervalle [0,15 ; 0,25][0{,}15 \ ; \ 0{,}25] : l'affirmation du fabricant est compatible avec le lot examiné. La borne supérieure vaut 0,25.

Exercice 2 Résultat d'un sondage

★★☆Environ 12 min

Avant une consultation, un institut interroge 900 personnes choisies au hasard. 513 personnes se déclarent favorables à un projet.

  1. Calcule la fréquence observée ff.
  2. Détermine l'intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion pp de personnes favorables dans la population.
  3. Peut-on affirmer que plus de la moitié de la population est favorable ? Donne en réponse la borne inférieure de l'intervalle, arrondie au millième.
Indice 1

La fréquence observée est le nombre de favorables divisé par la taille de l'échantillon.

Indice 2

Ici pp est inconnue : on centre l'intervalle sur ff, pas sur une valeur théorique.

Voir la correction pas à pas

  1. On calcule f=513900=0,57f = \frac{513}{900} = 0{,}57.

  2. La proportion pp est inconnue, on utilise l'intervalle de confiance [f−1n ; f+1n]\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} \ ; \ f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] avec n=900n = 900.

  3. On a 1900=130≈0,0333\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}0333.

  4. Borne inférieure : 0,57−0,0333≈0,5370{,}57 - 0{,}0333 \approx 0{,}537. Borne supérieure : 0,57+0,0333≈0,6030{,}57 + 0{,}0333 \approx 0{,}603.

  5. L'intervalle est environ [0,537 ; 0,603][0{,}537 \ ; \ 0{,}603]. Toutes ses valeurs dépassent 0,5 : on peut estimer, avec un niveau de confiance de 95 %, qu'une majorité de la population est favorable.

L'intervalle de confiance est environ [0,537 ; 0,603][0{,}537 \ ; \ 0{,}603]. Sa borne inférieure dépasse 0,5, donc le sondage est cohérent avec une majorité favorable, au niveau de confiance 95 %.

Exercice 3 Dimensionner un sondage

★★★Environ 12 min

Un institut veut que l'intervalle de confiance au niveau 95 % d'un sondage ait une amplitude d'au plus 0,02, quelle que soit la fréquence observée.

  1. Exprime l'amplitude de l'intervalle en fonction de nn.
  2. Détermine le nombre minimal de personnes à interroger.
  3. L'institut accepte finalement une amplitude de 0,04. Par combien le nombre minimal de personnes est-il divisé ? Donne en réponse le nombre minimal pour l'amplitude 0,02.
Indice 1

L'amplitude est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure.

Indice 2

Résous 2n≤0,02\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0{,}02 en isolant n\sqrt{n} puis en élevant au carré.

Voir la correction pas à pas

  1. L'intervalle est [f−1n ; f+1n]\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} \ ; \ f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right], son amplitude est 2n\frac{2}{\sqrt{n}}.

  2. On veut 2n≤0,02\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0{,}02, soit n≥20,02=100\sqrt{n} \geq \frac{2}{0{,}02} = 100.

  3. La fonction carré est croissante sur les nombres positifs, donc n≥1002=10 000n \geq 100^2 = 10\,000.

  4. Il faut interroger au moins 10 000 personnes.

  5. Pour l'amplitude 0,04 : n≥50\sqrt{n} \geq 50, donc n≥2 500n \geq 2\,500. Le nombre minimal est divisé par 10 0002 500=4\frac{10\,000}{2\,500} = 4.

Il faut au moins 10 000 personnes pour une amplitude de 0,02. Doubler l'amplitude tolérée divise par 4 la taille de l'échantillon nécessaire.

Quiz

8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. On veut tester l'hypothèse « la proportion de boules rouges dans une urne est p=0,4p = 0{,}4 ». Quel intervalle utilise-t-on ?

  2. Pour p=0,5p = 0{,}5 et n=100n = 100, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :

  3. Dans quelles conditions utilise-t-on la formule simplifiée [p−1n ; p+1n]\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} \ ; \ p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] ?

  4. Un sondage sur 400 personnes donne f=0,35f = 0{,}35. La borne supérieure de l'intervalle de confiance au niveau 95 % vaut :

  5. Quand la taille nn de l'échantillon augmente, l'intervalle de confiance au niveau de confiance fixé :

  6. Un intervalle de fluctuation peut se calculer même si l'on ne connaît pas la proportion pp de la population.

  7. Sur 100 lancers d'une pièce supposée équilibrée, on obtient 65 « face ». Quelle conclusion est correcte au seuil de 95 % ?

  8. Parmi ces affirmations, lesquelles sont correctes ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?

L'intervalle de fluctuation est déterminé par le paramètre pp et encadre une variable aléatoire, la fréquence d'un échantillon 3. Il suppose que pp est connue 2. L'intervalle de confiance part d'une fréquence observée ff pour encadrer la proportion inconnue pp 3. Moyen simple de les distinguer : si l'énoncé donne pp, c'est une fluctuation ; s'il donne ff et demande d'estimer pp, c'est une confiance.

Pourquoi le seuil de 95 % et pas 100 % ?

Pour être sûr à 100 %, il faudrait un intervalle couvrant toutes les valeurs possibles, donc inutile pour décider. Le seuil de 95 % est un compromis : on accepte un faible risque d'erreur, contrôlé, en échange d'un intervalle assez étroit pour être informatif 2. Le 95 % est la valeur la plus courante, mais pas la seule possible 2.

Que faire si les conditions $n \geq 25$ et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$ ne sont pas vérifiées ?

La formule simplifiée n'est plus fiable. Il faut revenir à la loi binomiale : on cherche les entiers aa et bb qui éliminent moins de 2,5 % de chaque côté 2. Par exemple, pour dix lancers d'une pièce équilibrée, on trouve [2 ; 8] pour le nombre de sorties, soit 0,2 à 0,8 en fréquence 2. En Terminale, les énoncés indiquent normalement quelle méthode employer.

Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, l'hypothèse est-elle prouvée ?

Non. Tu constates seulement que les données ne contredisent pas l'hypothèse. À l'inverse, une fréquence hors de l'intervalle conduit à rejeter l'hypothèse avec un risque d'erreur contrôlé, sans certitude absolue 2. Rédige donc « on ne rejette pas » ou « on rejette au seuil de 95 % », pas « c'est vrai » ou « c'est faux ».

Comment savoir combien de personnes interroger dans un sondage ?

L'amplitude de l'intervalle de confiance vaut 2n\frac{2}{\sqrt{n}} et diminue quand nn augmente 3. Pour une amplitude au plus égale à aa, il faut n≥4a2n \geq \frac{4}{a^2}. Par exemple, pour une amplitude de 0,04, on interroge au moins 2 500 personnes. Diviser l'amplitude par 2 oblige à multiplier nn par 4.

Sources

  1. Ressources IREM : Statistiques et probabilités en Terminale, IREM Université Grenoble Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Intervalle de fluctuation, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Intervalle de confiance, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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